Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Розривні функції. Види розривів



Означення неперервності функцій

 

Нехай функція визначена в точці і деякому околі, що містить точку . Знайдемо значення функції в точці , яке позначимо Далі, надамо значенню приріст , тобто знайдемо нове значення , де приріст може бути як додатним (тоді лежить правіше ), так і від’ємним (тоді знаходиться лівіше ). Тепер обчислимо нове значення функції і знайдемо різницю між і яку позначимо через , тобто (див. рис. 28), .

 

 

Рис. 28.

 

Означення 1. Функція називається неперервною в точці ,якщо вона визначена в точці , а також в деякому околі цієї точки, і якщо н.м. приросту аргумента відповідає н.м. приріст функції , тобто

, (1)

або рівносильне цьому

(2)

Перетворимо рівність (2)

Оскільки , то , і крім того,

( стала!), то далі маємо

(3)

Отже, якщо функція неперервна в точці , то границя функції дорівнює значенню цієї функції в точці . Якщо ж врахувати, що , то рівність (3) запишеться

(4)

Рівність (4) означає, що для неперервної функції можна переходити до границі під знаком функції.

Довести, що функції є неперервними в довільній точці .

1. Нехай . Тоді для знаходимо

.

Звідки знаходимо

Із неперервна функція для

Аналогічно можна довести, що неперервними є функції натуральне).

2. Нехай .

Подібно попередньому для знаходимо ,

при .

3. Нехай .

Для маємо ,

див. формулу 8 таблиці »

еквівалентних із 3.12

, при .

 

4. Нехай

Для

» Див. формулу 7 із 3.12. таблиці .

еквівалентних н.м.

Отже, неперервна функція для . Враховуючи (4), можна сказати, що

це і було використано в 3.12 при доведенні формули (1).

Подібним чином можна довести неперервність решти основних елементарних функцій в довільній точці , де ці функціїї визначені.

Означення 2. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу , де , то кажуть, що функція неперервна на цьому інтервалі.

Якщо функція визначена в точці і при цьому , то говорять, що неперервна справав точці . Якщо , то говорять, що неперервназліва в точці .



Якщо функція неперервна на інтервалі і неперервна на кінцях цього інтервала, відповідно справа і зліва, то говорять, що функція неперервна на всьому відрізку .

Наведемо без доведення наступну теорему.

Теорема. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.

 

Розривні функції. Види розривів

 

Якщо в якійсь точці для функції не виконується хоча б одна із умов неперервності , тобто якщо в точці функція невизначена, або неіснує границя , або при довільному прямуванні , хоча вирази і існують, то при функція розривна. Точка називається точкою розривуфункції.

Розрізняють такі три види розривів:

1) усувний розрив;

2) розрив І-го роду або скінченний розрив;

3) розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив.

Якщо функція в деякому околі точки визначена і її односторонні границі збігаються, тобто

= ,

а в самій точці функція невизначена , то в цій точці має усувний розрив. Цей розрив можна усунути, приписавши функції значення, що збігається з односторонніми границями і взявши

= .

Наприклад, функція неперервна на всьому інтервалі від –¥ до +¥, крім точки . В точці функція розривна.

Розглянемо нову функцію , таку, що якщо

, а при покладемо

Побудована таким чином функція



 

є неперервною для (див. рис. 29), тобто розрив усунули.

 

Рис. 29.

 

Якщо односторонні границі функції скінченні при і , то функція в точці має розрив І-го роду або скінченний розрив.

Наприклад, функція при дорівнює при а при функція невизначена, тоді

отже має розрив І-го роду (див. рис. 30).

 

Рис. 30.

 

Стрибком функції називається величина

У точках неперервності стрибок , для розривів І-го роду він скінченний. Для розглянутого на рис. 30 графіка стрибок .

Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції в точці є нескінченною або не існує, тоді функція в точці має розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив.

Наприклад, в точці невизначена, , а , тобто односторонні границі нескінченні, тому тут розрив ІІ-го роду (див. рис.31).

 

Так само точка є точкою розриву ІІ-го роду для розглянутої раніше функції , бо не існує.


Просмотров 554

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!