Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Преобразование декартовых координат



Известно, что положение точки М некоторого пространства V можно однозначно определить, задав координаты x, y и z этой точки относительно некоторой системы координат OXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координат XOYZ точка М будет иметь координаты М(x; y; z), а в другой системе X’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’; y’; z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZ и X’O’Y’Z’ - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системы X’O’Y’Z’; - направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x, y, z любой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координат x’, y’, z’ той же точки относительно другой системы.

 

Полярная система координат.

Определение положения точки М с помощью декартовых координат не является единственным способом. Пусть дана некоторая плоскость. Выберем на ней точку О, из нее проведем луч ОЕ. На этом луче выберем единицу масштаба. Тогда любая точка М плоскости будет однозначно определена, если известно ее расстояние от точки О, то есть длина отрезка ОМ, и угол φ, образованный лучом ОЕ и отрезком ОМ. Пара чисел и называется полярными координатами точки М: φ – полярный угол, ρ – полярный радиус, луч ОЕ – полярная ось, точка О – полюс. Угол φ считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси в направлении, противоположном направлению часовой стрелки. Область изменения полярных координат определяется системой неравенств: .



Если полюс полярной системы координат совместить с началом некоторой декартовой системы, заданной на той же плоскости, а полярную ось направить по оси ОХ, то полярные координаты и некоторой точки М будут связаны с декартовыми координатами х и у следующими соотношениями:

Если известны полярные координаты и , то декартовы координаты х и у точки М вычисляются по формулам:

Пример 25. Найти полярные координаты точки М(1; - ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Решение.

Имеем

угол находится в четвертой четверти, то есть

Ответ: М( ).

 

 

Расчётно-графическая работа

«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»



Задание 1. Найти область решения системы неравенств. Сделать чертеж.

1. 2. 3.

 

4. 5. 6.

 

7. 8. 9.

 

10. 11. 12.

 

13. 14. 15.

 

16. 17. 18.

 

19. 20. 21.

 

22. 23. 24.

 

25.

Задание 2. Решить систему уравнений двумя способами:

1) методом Гаусса;

2) матричным методом.

Задание 3. Дана пирамида . Найти:

1) угол между ребрами и ;

2) уравнение плоскости ;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

4) угол между ребром и гранью ;

5) объем пирамиды ;

6) площадь грани. Сделать чертеж.

№ варианта А В С D

 



Задание 4. Даны векторы и в некотором базисе.

Показать, что векторы и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

№ варианта

 

Задание 5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Сделать чертеж. Найти координаты вершин и фокусов. Построить директрисы кривой .

Задание 6. Дано комплексное число . Записать комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения . Результаты изобразить схематически.

 

 

 

 

 

 

Задание 7. Найти собственные векторы линейного преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Установить вид кривой и сделать чертеж.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

 

 

Пример выполнения варианта расчетно-графической работы.

Задание 1.Найти область решения системы неравенств. Сделать чертеж.

Решение.

Заменим в данной системе каждое неравенство равенством. По полученным уравнениям построим прямые. Каждая прямая разделит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых выполняется неравенство, в другой - нет. Часть плоскости, в которой выполняются все неравенства и есть область решения.

Рис.1

 

Ответ. Областью решения служит четырехугольник ABCD.

 

Задание 2.Решить систему уравнений двумя способами:

1) Методом Гауcса

2) Матричным методом.

Решение.

Вычислить определитель системы ∆:

∆= =

 

Следовательно, система имеет единственное решение.

Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу, и, применяя элементарные преобразования, приведем ее к диагональному виду

 

 

Проверка:

 

 

Решим систему матричным методом. Составим обратную матрицу А-1.

Вычислим алгебраическое дополнение Аίj:

 

Ответ:

Задание 3.Дана пирамида : , , , .

Найти:

1)угол между ребрами и .

2)уравнение плоскости ;

3)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

4)угол между ребром и гранью ;

5)объем пирамиды;

6)площадь грани . Сделать чертеж.

Решение.

1)Найти координаты векторов и :

= = = =

Вычислим косинус угла образованного векторами и :

 

2)Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки:

 

Уравнение плоскости :

3)Вычислим векторное произведение векторов и :

Так как вектор векторного произведения перпендикулярен плоскости , то его можно принять за направляющий вектор высоты . Уравнения высоты будет иметь вид:

Найдем координаты точки , пересечения прямой с плоскостью . Запишем уравнение плоскости :

Уравнение высоты запишем в параметрической форме и решим систему:

 

; ;

Вычислим длину высоты :

Уравнение высоты :

Длинна

4)Вычислим синус угла между ребром и гранью :

рад.

5)вычислим объем пирамиды :

ед.

6) Вычислим площадь грани :

ед

 

Сделаем чертеж:

Рис. 2

 

Задание 4.Даны векторы в некотором базисе.

Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в базисе .

= , = , = , =

Решение.

Три вектора образуют базис в пространстве, если они некомпланарны. Условием компланарности трех векторов служит равенство

Вычислим смешенное произведение:

Следовательно, векторы образуют базис.

Найдем координаты вектора d в этом базисе.

Разложение вектора в базисе , имеет вид: =

Переходя к координатам записи, получим:

Решим систему по формуле Крамера:

∆=9

Найдем вспомогательные определители:

 

 

 

 

, ,

Искомое разложение имеет вид: + -

 

Задание 5.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Сделать чертеж. Найти координаты фокусов и вершин. .

 

Решение.

Выделим полные квадраты по и :

Полученное уравнение - уравнение гиперболы. Центр симметрии в точке 0(0: 3). Действительная полуось гиперболы ; мнимая полуось .

Получим координаты фокусов:

, .

Координаты вершин: , , ,

Рис.3

Задание 6.Дано комплексное число .Записать комплексное число в алгебраической и трибометрической формах. Найти все корни уравнений . Результат изобразить схематически.

 

Решение.

Запишем комплексное число в алгебраической форме:

Найдем модуль комплексного числа:

Решим уравнение: .

Запишем число z в тригонометрической форме:

По правилу извлечения корня третьей степени из z ,получим:

 

 

 

Изобразим схематически полученные результаты.

 

 

Алгебраическая форма:

Тригонометрическая форма:

Корни уравнения:

Задание 7. Найти собственные векторы линейного преобразования, приводящего квадратическую форму к каноническому виду. Установить вид кривой и сделать чертеж.

Решение.

Составим матрицу квадратной формы:

Найдем собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, определяемого матрицей А:

 

Найдем корни полученного уравнения:

.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям:

 

 

Пусть , тогда

Собственный вектор . Найдем единичный вектор: = .

Пусть , тогда .

Собственный вектор = Единичный вектор: =

Составим матрицу преобразования:

Запишем формулы преобразования координат:

Поставим в квадратную форму:

Полученное уравнение описывает гиперболу.

Действительная полуось гиперболы , мнимая полуось .

Сделаем чертеж.

Рис. 5

 

Содержание

 

1. Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными………………….3

2. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными………..5

3. Матрицы и определители……………………………………………………….7

4. Определители произвольного порядка……………………………………….10

5. Системы линейных алгебраических уравнений……………………………..12

6. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений………….14

7. Векторы и линейные операции над ними…………………………………….16

8. Умножение векторов…………………………………………………………...21

9. Комплексные числа…………………………………………………………….24

10. Аналитическая геометрия на плоскости……………………………………..29

11. Различные виды уравнения прямой на плоскости…………………………..30

12. Кривые второго порядка………………………………………………………36

13. Уравнение плоскости………………………………………………………….43

14. Прямая в пространстве………………………………………………………..47

15. Поверхности второго порядка………………………………………………...51

16. Преобразование декартовых координат……………………………………...58

17. Полярная система координат…………………………………………………60

18. Варианты расчётно-графической работы…………………………………….62

19. Пример выполнения расчетно-графической работы………………………..71


Просмотров 523

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!