Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Поверхности второго порядка



Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию .

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор , удовлетворяющий условию называют собственным вектором матрицы А, - собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

 

Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x2 +5y2 +3z2 – 2xy + 2xz – 2yz -12x – 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный вектор собственного вектора будет: .

При получим

При получим .

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

 

Подставим значения , и в уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим



Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов , , , , , и могут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1) однополостные гиперболоиды

2) двуполостные гиперболоиды

 

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1) эллиптические параболоиды

2) гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1) эллиптические цилиндры

 

2) гиперболические цилиндры

3) - параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1) - пары пересекающихся плоскостей

2) - пары параллельных плоскостей

3) - пары совпадающих плоскостей


Просмотров 289

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!