Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Формальные аксиоматические теории (ФАТ)



Формальная аксиоматическая теория – теория, которой во-первых задан алфавит, т.е. множество символов, из которых строится выражение ли фраза теории, во-вторых заданы правила, по которым строятся выражения теории, выражения называют формулами, т.е. правила создают способ корректного построения формул из символов алфавита. В-третьих во множестве формул выделяется подмножество, возможно бесконечное, называемое аксиомами этой теории. В-четвертых заданы правила вывода, позволяющие из одних формул получать другие, т.е. правило логических рассуждений. В процессе вывода в рамках теории мы абстрагируемся от правильности логических рассуждений, заложенных в правилах вывода и просто используем их, как некоторую функцию или способ преобразования формул теории.

Выводом формулы B называется такая последовательность формул ФАТ A1, A2 .. An (=B), в которой последнее совпадает с В и каждая формула или является аксиомой или получена по правилам вывода из предыдущих. Если для формулы В в рамках рассматриваемой теории есть цепочка вывода, то она называется выводимой в рамках данной теории или теоремой.

Для ФАТ аксиоматических теорий обычно рассматривается ряд вопросов:

1) Решение вопроса о полноте, совпадает ли множество теорем данной теории с множеством тождественно истинных утверждений или тавтологией теории, это вопрос о полноте в широком смысле

2) В том случае, если теория не полна, рассматривается вопрос о полноте в узком смысле, т.е. увеличится ли множество теорем при дополнении какой либо аксиомы к уже имеющимся так, чтобы теория осталась непротиворечивой.

3) Вопрос о противоречивости теории, т.е. вопрос о выводимости или доказательстве в рамках теории двух противоположных по смыслу утверждений.

4) Разрешимость теории. Говорит о том, существует ли некий алгоритм, позволяющий проверить является ли некоторая правильная формула теоремой, рассматриваемой факт. Решается вопрос о разрешимости множества теорем данной теории. В рамках этого вопроса так же рассматриваются вопросы вида F1&F2&..&Fn -> B является ли данная формула тавтологией или теоремой данной теории в случае полноты, т.е. при наличии знаний F1..Fn можем ли мы вывести знания из F1,F2..Fn следует В. Если вся формула тавтология то В следует из F1, .. , Fn. В том случае, когда все формулы F1 .. Fn являются аксиомами либо теоремами в рамках теории, вопрос часто ставится о том, является ли теоремой В. Но среди формул Fi могут встречаться и истинные только при определенных условиях, такие формулы, как правило, не являются теоремами или аксиомами теории. Но их можно рассматривать в качестве гипотез и часто удается свести вопрос о логическом следовании формулы В из гипотез к вопросу о том, является ли вся записанная формула теоремой.



5) Независимость системы аксиом. Можно ли из этой теории выбросить 1 или несколько аксиом так, что множество теорем этой теории останется прежним. Этот вопрос эквивалентен выводимости аксиом друг из друга.

 

ФАТ строятся так, чтобы множество ее теорем совпадало с множеством истинных утверждений некоторой содержательной теории, т.е. неформальной теории. Иначе смысла формальной теории нет, т.к. формальная теория и нужна, чтобы конечным набором строгих средств выразить истинные утверждения и правильные умозаключения, относящиеся к какой-либо области математики, техники и других дисциплин, в том числе и правовых.

 

Свойства выводимости.



Формальная аксиоматическая теория – теория, которой во-первых задан алфавит, т.е. множество символов, из которых строится выражение ли фраза теории, во-вторых заданы правила, по которым строятся выражения теории, выражения называют формулами, т.е. правила создают способ корректного построения формул из символов алфавита. В-третьих во множестве формул выделяется подмножество, возможно бесконечное, называемое аксиомами этой теории. В-четвертых заданы правила вывода, позволяющие из одних формул получать другие, т.е. правило логических рассуждений. В процессе вывода в рамках теории мы абстрагируемся от правильности логических рассуждений, заложенных в правилах вывода и просто используем их, как некоторую функцию или способ преобразования формул теории.

 

Свойства выводимости.

1) Если множество Г является Ф из Г выводится |-G => Ф|-G.

2) Если известно, что из Ф|-G и что любого В из Ф выводится Г|-В, то верно что из Г |-G.

3) Если Г бесконечно и из Г |- G, то в Г существует Г’ что из Г’|-G, причем иногда говорят что Г’ конечно, т.к. длина цепочки вывода конечна.


Просмотров 836

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!