Свойства производной по направлению

Функции нескольких переменных

Z=f(x,y)

Для любых x, y ->z

Окрестностью точки на плоскости называется круг с центром в этой точке.

(x-x_о)²+(y-y_o)²<z²

U_r(M_o) – r – окрестность M_o

_r(M_o) – проколотая окрестность

Точка M_o называется внутренней точкой множества D. Точка M называется внутренней если она принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью. M₁ – граничная точка D если в любой ее окрестности найдутся точки принадлежащие и не принадлежащие. Совокупность граничных точек называется границей. D – граница множества D. M₂- изолированная точка множества D, если в некоторой ее окрестности нет других точек множества D кроме ее самой. Множество D называется открытым если состоит только из внутренних точек. множествоD называется замкнутым если содержит все граничные точки.

- замыкание

Множество D называется связным если 2 любые точки множества D можно соединить непрерывной кривой лежащей в D.

Область – открытое связное множество.

Множество называется ограниченным если его можно поместить внутри круга конечного радиуса, в противном случае оно неограниченное. Односвязное множество – если любую замкнутую прямую, лежащую в D можно непрерывной деформацией стянуть в точку не покидая множества D.

Непрерывность функции

Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (x_o, y_o) если f(x, y) =f(x_o, y_o) или f=0.

Частные приращения

Дадим приращение аргументу x = x_o+ x xf = f(x_o+ x, y_o) - f(x_o, y_o)

y = y_o+ y yf = f(x_o, y_o+ y) - f(x_o, y_o)- полное приращение

частные производные

Пример:

Полное приращение и полные дифференциалы.

Если полное приращение функции можно записать в виде z = A x+B y+Q( ) где , то линейная часть уравнения (A x+B y) называется полным дифференциалом. Предположим что функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные в U(x_o, y_o). Дадим приращение независимым переменным x_о x_o+ x,

y y_o+ y z = f(x_o+ x, y_o+ y)- f(x_o, y_o)=( f(x_o+ x, y_o+ y)- f(x_o, y_o+ y))+ (f(x_o, y_o+ y)- f(x_o, y_o)=

( по теореме Логранта

(x_o+ x, y_o+ y)

)

=

где

x = dx

y = dy

f(x,y)-f(x_o, y_o)

Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве

Функция z=f(x,y) имеет наибольшее значение на D в точках x_o, y_o если

f(x_o, y_o) f(x,y)

??????????????????????????

f(x_o, y_o) f(x,y)

1) f(x,y) непрерывна на то

: f(x_o, y_o) f(x,y)

: f(x₁, y₁) f(x,y)

2) f(x,y) непрерывна на то

M = наибольшее f(x,y)

M = наименьшее f(x,y)

Частная производная сложной функции

Z = f(u,v)

u = u(x,y)

v = v(x,y)

Пример

Полная производная

z=z(x,y,t)

x=x(t)

y=y(t)

Производные неявной функции

F(x,y)=0 (*) задает неявную функцию в окрестности точки (x_o,y_o)

F(x_o,y_o)=0

Будем считать что функция F имеет непрерывные частные производные в U(x_o,y_o), (x_o,y_o)

x = x_o+ x y = y_o+ y

F(x_o+ x, y_o+ y)=0

F= F(x_o+ x, y_o+ y) - F(x_o,y_o)=0

Пример

Частные производные неявной функции

F(x,y,z)=0 (**)

Z=z(x,y)

xyz-a³=0

Производные высших порядков.

z=z(x,y) - ? ,

- ? _yx , _y² ,

Теорема.

непрерывна в .

, , , непрерывны в .

Доказать:

.

Скалярное поле.

- поверхность уровня.

- линия уровня.

Производная по направлению.

непрерывна.

непрерывны.

; ;

Определение.

Производной U по направлению s называется:

Свойства производной по направлению.

1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению.

2.

3.

Производная по направлению показывает скорость изменения функции в данном направлении.

Градиент показывает направление максимального изменения.

4. В каждой точке пространства градиент перпендикулярен поверхности уровня.

- скалярное поле.

- линия уровня.

||