Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






II. Структура n-мерного векторного пространства над полем



База:

− множество векторов, − поле действительных чисел.

Отношения:

1. Тернарное отношение , определяющее бинарную алгебраическую операцию − сложение векторов, обозначаемую символом +.

Если то .

2. Тернарное отношение , определяющее умножение вектора на число, обозначаемое постановкой числа и вектора рядом.

Если , то .

Аксиомы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. Существует базис из векторов.

 

III. Структура n-мерного евклидова векторного пространства над полем .

Добавим к отношениям структуры n-мерного векторного пространства тернарное отношение, определяющее отображение , называемое скалярным умножением векторов, обозначаемое символом в соответ-ствии с равенством , и удовлетворяющее аксиомам:

10. .

11. .

12. .

13.

 

IV. Структура n-мерного аффинного пространства.

База:

множество точек, –n-мерное векторное пространство над полем действительных чисел, называемое пространством переносов.

Отношения:

Тернарное отношение , определяющее

отображение . Если , то условимся обозначать .

Аксиомы:

К аксиомам n-мерного векторного пространства добавляются две аксиомы Вейля.

V. Структура евклидова n-мерного точечного пространства.

Если к отношениям и аксиомам структуры -мерного аффинного пространства добавить отношения и аксиомы, которые делают пространство переносов евклидовым векторным пространством, то получим структуру евклидова -мерного точечного пространства.

VI. Структура проективного пространства.

База:

– множество точек, – векторное пространство размерности , –поле действительных чисел.

Отношения:

Бинарное отношение , определяющее отображение . Если , то будем говорить, что вектор порождает точку и записывать .

Аксиомы:

1. , то есть π сюръективно.

2. .

 

VII. Структура метрического пространства.

База:

– непустое множество, – поле действительных чисел.

Отношения:

Тернарное отношение , определяющее отображение . Если , то будем говорить, что – расстояние от до .

Аксиомы:

1.

2.

3. (аксиома «треугольника»).

VIII. Структура топологического пространства.

База:

– множество точек.

Отношения:

Унарные отношения на множестве .

Подмножества условно называются открытыми.

Совокупность всех открытых множеств называется топологией пространства.



Аксиомы:

1.

2.

3. .

 

Лекция 2. Теория рода структур. Модель системы аксиом. Основные свойства системы аксиом

Теория рода структур

Математика занимается изучением математических структур. Основным ее методом является аксиоматический метод: структура каждого рода определяется при помощи соответствующей системы аксиом , а дальше логическим путем строится теория структур этого рода – совокупность предложений, каждое из которых является либо аксиомой, либо выводится из высказываний, полученных ранее, при

помощи принятых в математической логике правил вывода.

Так, мы имеем теорию групп, теорию колец, теорию (геометрию) аффинного, евклидова, проективного пространства, и т.д.

Если в теориях и двух родов структур все понятия и отношения каждого из этих родов структур можно определить как основные или производные понятия и отношения другого рода структур и при этом все аксиомы каждой из этих теорий будут аксиомами или теоремами другой теории, то говорят, что эти две теории совпадают. Системы аксиом ∑ и этих родов структур называются эквивалентными.

 

Модель системы аксиом

Для каждого рода структур

возникает вопрос о применимости его теории: «Существуют ли конкретные множества , на которых указан конкретный смысл отношений так, что все аксиомы выполняются?».

В случае положительного ответа на этот вопрос, эти конкретные множества и конкретные отношения называются моделью Mрода структур или интерпретацией системы аксиом . При этом говорят, что на множествах определена структура данного рода структур.

Примеры моделей систем аксиом.

I. Одна из моделей поля действительных чисел строится на базе множества бесконечных десятичных дробей с определенными для них сложением, умножением и порядком [12].



Эта модель называется арифметической моделью поля действительных чисел.

II. Легко построить арифметическую модель -мерного векторного пространства, взяв в качестве множества декартову -ю степень множества – поля действительных чисел, и определив сложение векторов и умножение вектора на число по следующим правилам:

.

III. Определив в арифметической модели -мерного векторного пространства скалярное умножение векторов и по следующему правилу: , получим арифметическую модель евклидова -мерного векторного пространства.

IV. Для построения арифметической модели системы аксиом Вейля -мерного аффинного пространства, нужно взять в качестве множеств базы: , .

Отображение каждой паре точек и ставит в соответствие вектор .

Тогда для точки и вектора существует единственная точка , что .

Для любых трех точек , , имеем:

,

,

,

.

Таким образом, аксиомы Вейля -меного аффинного пространства выполняются.

V. Из примеров III и IV ясно как построить арифметическую модель евклидова -мерного точечного пространства.

VI. Построим модель системы аксиом проективного -мерного пространства над полем действительных чисел. В качестве множества рассмотрим множество классов, состоящих из ненулевых матриц-строк из действительных чисел, таких, что все матрицы одного класса отличаются друг от друга числовыми множителями. В качестве возьмем – арифметическую модель -мерного векторного пространства.

Тогда отображение можно определить следующим образом. Вектору поставим в соответствие класс, содержащий матрицу-строку . Выполнение аксиом 1-2 проективного пространства очевидно.

VII. На всяком непустом множестве X можно задать метрику, положив, например, . Легко проверить выполнение аксиом метрического пространства.

Таким образом, имеем бесконечно много моделей метрического пространства.

VIII. Легко построить бесконечно много моделей топологического пространства, определяя на всяком непустом множестве X антидискретную топологию, полагая или дискретную топологию, полагая – семейство всех подмножеств множества X.

С помощью координат векторов в некотором базисе легко устанавливается изоморфизм любой модели -мерного векторного пространства с арифметической моделью.

Аналогично, с помощью координат векторов в ортонормированном базисе легко установить изоморфизм любой модели -мерного евклидова векторного пространства с арифметической моделью.

Задание аффинной системы координат в любой модели аффинного -мерного пространства позволяет установить изоморфизм этой модели с арифметической моделью.

Аналогично, задание прямоугольной системы координат в любой модели евклидова -мерного точечного пространства позволяет установить ее изоморфизм с арифметической моделью этого пространства.

Задание базиса в векторном пространстве любой модели проективного -мерного пространства позволяет установить изоморфизм этой модели с построенной выше моделью проективного -мерного пространства.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!