![]() Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу! ![]() Дисциплины:
Архитектура (936) ![]() |
![]() ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала. Если неизвестная функция зависит от одной переменной то диф. ур. называется обыкновенным. Если от нескольких, то диф. ур. частных производных. Общий вид обыкновенного диф. ур. n-го порядка:
где, F – заданная функция связывающая независимую переменную x, независимую функцию Порядок старшей производной входящей в диф. ур. называется порядком этого уравнения. Пример: 1. 2. 3. Общий вид обыкн.диф.ур. I-го порядка:
Общим решением диф.ур.(1) 1-го порядка называется функция Общее решение, заданное в неявном виде Геометрическое общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от График решения
Определение:Частным решением д.у. (1) называется решение полученное из общего решения (2) при фиксированном значении Частный интеграл получается из уравнения (3) при фиксированном значении
Задача Коши:Найти решение диф.ур. (1) удовлетворяющее заданным начальным условиям Теорема(Коши): (о существовании и единственности решения д.у.): Пусть заданно д.у.
Геометрически теорема означает, что через каждую внутреннюю точку Определение:Общее решение д.у.(1) называется функция 1. она является решением д.у.(1) при любом значении 2. каковы бы ни были начальные условия Найти решение д.у. значит найти частное решение (интеграл) или общее решение (интеграл).
Определение:Решением д.у. (1) называется особым решением если соответствующая интегральная кривая обладает тем свойством, что через любую её точку проходит, кроме неё, ещё и другая касающаяся её интегральная кривая данного уравнения. Пример: Общий интеграл этого уравнения имеет вид: Проверим условие теоремы:
3. Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах. Определение: Д.У.
Решение д.у. с разделяющими переменными осуществляется поэтапно: 1) Пусть исходное уравнение имеет вид а) Представляем функцию в виде произведения F(x,y)= b) Заменяем производную отношением c) Умножаем обе части уравнения на dx и, одновременно, делим на функцию d) Интегрируем обе части полученного уравнения: 2) Если уравнение задано в неявной форме, то следует из него выразить y’ в явном виде и далее действовать как уже было сказано. 3) Если уравнение задано в форме а) переносим второе слагаемое в правую часть; b) каждую из двух функций представляем в виде произведения (или отношения) сомножителей. с) Делим обе части уравнения на произведение функции d) Общий интеграл находим интегрированием Определение: Д.У. Для преобразования однородного уравнения к виду, с которого начинается использование подстановки, необходимо: 1)выразить в явном виде производную искомой функции из любой исходной формы записи уравнения. 2)преобразовать функцию 3)Сделать замену К однородным могут относиться уравнения, в которых отношения
Определение: Д.У. Другими словами: всякое уравнение 1-го порядка будет линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются. Для решения линейных уравнений используют два метода: метод Бернулли (подстановки) и метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной) МЕТОД БЕРНУЛЛИ (метод подстановки): Этот метод позволяет с помощью подстановки МЕТОД ЛАГРАНЖА (вариации произвольной постоянной): Решение линейного уравнения 1) находим общее решение однородного уравнения 2) Подставляем функцию Определение: уравнение Форма уравнения Бернулли: Замечание:Данное уравнение сводится к линейному следующим образом. Сначала делим уравнение на а затем делаем замену Уравнение примет вид Однако, при решении конкретных примеров можно предварительно не сводить уравнение Бернулли к линейному, а сразу решать его как линейное. ![]() Определение: Уравнение
Интегрирование уравнения в полных дифференциалах проводится следующим образом: 1) Проверяем выполнение условия 2) Если условие выполняется, то левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой пока неизвестной функции Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению функции 4.Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение. Д.У. n-го порядка называется уравнение, которое содержит независимую переменную x, искомую функцию у, ее производную n-го порядка. Уравнение n-го порядка может быть записано в явной форме, если оно разрешено относительно старшей производной Решение Д.У. n-го порядка называется любая n раз дифференцируемая функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество. Каждое уравнение n-го порядка имеет бесконечное множество решений. Выбрать из этого множества конкретное решение можно, если задать n дополнительных условий, например начальных. Начальными условиями для уравнений n-го порядка являются задания значений искомой функции и ее производных до (n-1)-го порядка включительно при заданном значении Общим решением уравнения называется функция 1) Функция содержит произвольные постоянные, количество которых равно порядку уравнения; 2) Эта функция является решением уравнения при любых значениях произвольных постоянных; 3) При заданных начальных условиях произвольные постоянные можно определить единственным образом так, что полученное частное решение будет удовлетворять заданным начальным условиям. Если решение записано в неявном виде, то оно называется общим интегралом этого уравнения. Всякое решение, которое полученное из общего решения при конкретных значениях, называется частными решениями. 5.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши Д.У. порядка выше первого (без.док.) Если функция (n+1)-й переменной Определенное на Д.У. 2-го порядка
6. Понятие линейного ДУ n-го порядка (×)
Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка называется уравнение, в котором искомая функция y(x) и ее производная входят в первых степенях и не перемножаются. Общий вод такого уравнения a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=f(x), где а0, а1, … - либо функция от х, либо постоянные числа. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид ay’’+by’+cy=f(x). Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части. Если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным, или уравнением с правой частью.
7. Однородные линейные ДУ n-го порядка. Две теоремы о свойствах решений ОЛДУ (док.)(×) a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=f(x) где а0, а1, … - либо функция от х, либо постоянные числа. Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части. Пусть a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=0 => у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 где Pn=an/ a0 1) Если у1(х) – частное решение ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 (2) , то функция С *у1(х), где С=const, также является решением этого ЛОДУ. Док-во: Су(n) + P1Сy(n-1) +…+ Pn-1 С y’ + Pn С y = 0 С(у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y ) = 0 у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0
2) Если у1(х) и у2(х) – решение ЛОДУ , то функции у1(х) + у2(х) также являются решениями этого ДУ Док-во: (у1+у2)(n) + P1(у1+у2) (n-1) +…+ Pn-1 (у1+у2)’ + Pn (у1+у2) = = [у1 (n) + P1 у1 (n-1) +…+ Pn-1 у1’ + Pn у1] + [у2 (n) + P1 у2 (n-1) +…+ Pn-1 у2’ + Pn у2] = 0
3)Если у1(х) и у2(х)... уn(х) решение ЛОДУ, то их линейная комбинация С1 у1(х) + С 2у2(х)... Сn уn(х) – так же является решение этого уравнения.
8. Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (док.). Определение: Определитель Вронского (или вронскиан) функций y1,y2,…,yn – это определитель вида: (где y1, y2, yn - ФСР C1 ,C2 ,…,Cn - const) Определителем этой системой является определитель Вронского Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным) Если функции y1, y2, … ,yn - линейно зависимы и имеют производные до (n-1) порядка, то их определитель Вронского тождественно равен 0. Док-во: Так как y1, y2, … , yn - линейно зависимы, то существуют числа α1, α2, …, αn (то есть все равные нулю одновременно) такие что α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0 на x Продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений:
α1y1’ + α2y2’ + …+ αnyn’ = 0 α1y1’’ + α2y2’’ + …+ αnyn’’ = 0 => …………………………….. α1y1(n-1) + α2y2(n-1) + …+ αnyn(n-1) = 0 Система имеет нетривиальное решение любых Х из (а,b), определитель этой системы – определитель Вронского. W[y1, y2, … ,yn ] = 0 для любых Х из [а,b]
9. Теорема о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ(без док.). Если n решений y1, y2, … ,yn ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х Следствие: Определитель Вронского системы решений [y1, y2, … ,yn ] не равен 0 если система линейно независима, либо Доверь свою работу кандидату наук!
![]() |