ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши.

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Если неизвестная функция зависит от одной переменной то диф. ур. называется обыкновенным. Если от нескольких, то диф. ур. частных производных.

Общий вид обыкновенного диф. ур. n-го порядка:

где, F – заданная функция связывающая независимую переменную x, независимую функцию и её производные .

Порядок старшей производной входящей в диф. ур. называется порядком этого уравнения.

Пример:

1. - об.диф.ур. первого порядка относительно неизвестной функции .

2. - об.диф.ур. III порядка относительно неизвестной функции .

3. – диф.ур. 2-го порядка относительно неизвестной функции

Общий вид обыкн.диф.ур. I-го порядка:

Общим решением диф.ур.(1) 1-го порядка называется функция (2). От и произвольной постоянной , д.у. (1) в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде называется общим интегралом.

Геометрическое общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от .

График решения называется интегральной кривой. Процесс нахождения решения д.у. называется интегрированием д.у.

Определение:Частным решением д.у. (1) называется решение полученное из общего решения (2) при фиксированном значении : .

Частный интеграл получается из уравнения (3) при фиксированном значении : .

Задача Коши:Найти решение диф.ур. (1) удовлетворяющее заданным начальным условиям при .
2. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши(без док). Определение общего решения ДУ. Особое решение.

Теорема(Коши): (о существовании и единственности решения д.у.):

Пусть заданно д.у. . Если функция и частная производная по непрерывна в некоторой области плоскости содержащей точку , то найдется интервал на котором существует единственное решение , д.у. (1), удовлетворяющее условию .

– начальные условия. - начальные числа.

Геометрически теорема означает, что через каждую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая. Т.о. вся область , где и - непрерывны, покрыта интегральными кривыми которые никогда не пересекаются.

Определение:Общее решение д.у.(1) называется функция , если

1. она является решением д.у.(1) при любом значении ;

2. каковы бы ни были начальные условия можно найти единственное значение такое, что удовлетворяет (1).

Найти решение д.у. значит найти частное решение (интеграл) или общее решение (интеграл).

)

Определение:Решением д.у. (1) называется особым решением если соответствующая интегральная кривая обладает тем свойством, что через любую её точку проходит, кроме неё, ещё и другая касающаяся её интегральная кривая данного уравнения.

Пример: уравнение Бернулли.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Проверим условие теоремы: непрерывна на непрерывна в

решение д.у. (особое решение)

– огибающая семейства интегральных кривых.

3. Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах.

Определение: Д.У. является уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть представляет собой, или может быть представлена в виде произведения(или отношения) 2-х функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от у, т.е.

или или

Решение д.у. с разделяющими переменными осуществляется поэтапно:

1) Пусть исходное уравнение имеет вид

а) Представляем функцию в виде произведения

F(x,y)= и используя различные алгебраические приемы.

b) Заменяем производную отношением .Уравнение примет вид

c) Умножаем обе части уравнения на dx и, одновременно, делим на функцию . Получим . Переменные разделены.

d) Интегрируем обе части полученного уравнения:

2) Если уравнение задано в неявной форме, то следует из него выразить y’ в явном виде и далее действовать как уже было сказано.

3) Если уравнение задано в форме , то

а) переносим второе слагаемое в правую часть;

b) каждую из двух функций представляем в виде произведения (или отношения) сомножителей.

с) Делим обе части уравнения на произведение функции

d) Общий интеграл находим интегрированием

Определение: Д.У. называется однородным, если его правая часть есть однородная функция своих аргументов

Для преобразования однородного уравнения к виду, с которого начинается использование подстановки, необходимо:

1)выразить в явном виде производную искомой функции из любой исходной формы записи уравнения.

2)преобразовать функцию к виду

3)Сделать замену , которая позволит разделить переменные в полученном уравнении.

К однородным могут относиться уравнения, в которых отношения стоят под знаком какой-либо функции.

Определение: Д.У. является линейным, если его правая часть есть линейное выражение относительно искомой функции .

Другими словами: всякое уравнение 1-го порядка будет линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются.

Для решения линейных уравнений используют два метода: метод Бернулли (подстановки) и метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

МЕТОД БЕРНУЛЛИ (метод подстановки):

Этот метод позволяет с помощью подстановки сводить любое линейное уравнение к двум уравнениям с разделяющими переменными относительно функций и

МЕТОД ЛАГРАНЖА (вариации произвольной постоянной):

Решение линейного уравнения методом вариации состоит из двух этапов:

1) находим общее решение однородного уравнения Получаем функцию , где С- произвольная постоянная.

2) Подставляем функцию в исходное уравнение, находим функцию и записываем общее решение исходного уравнения.

Определение: уравнение является уравнением Бернулли, если правая часть уравнения имеет вид , где – любое рациональное число, исключая случаи и . При уравнение является линейным, а при – с разделяющимися переменными.

Форма уравнения Бернулли: .

Замечание:Данное уравнение сводится к линейному следующим образом. Сначала делим уравнение на :

а затем делаем замену

Уравнение примет вид и далее решается как линейное, например методом подстановки

Однако, при решении конкретных примеров можно предварительно не сводить уравнение Бернулли к линейному, а сразу решать его как линейное.

Определение: Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

Интегрирование уравнения в полных дифференциалах проводится следующим образом:

1) Проверяем выполнение условия

2) Если условие выполняется, то левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой пока неизвестной функции , т.е .Тогда в соответствии с уравнением, , и поэтому общий интеграл уравнения в полных дифференциалах запишется в виде .

Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению функции .

4.Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение.

Д.У. n-го порядка называется уравнение, которое содержит независимую переменную x, искомую функцию у, ее производную n-го порядка.

Уравнение n-го порядка может быть записано в явной форме, если оно разрешено относительно старшей производной , или в неявной

Решение Д.У. n-го порядка называется любая n раз дифференцируемая функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество.

Каждое уравнение n-го порядка имеет бесконечное множество решений. Выбрать из этого множества конкретное решение можно, если задать n дополнительных условий, например начальных.

Начальными условиями для уравнений n-го порядка являются задания значений искомой функции и ее производных до (n-1)-го порядка включительно при заданном значении , , , …

Общим решением уравнения называется функция , которая удовлетворяет следующим условиям:

1) Функция содержит произвольные постоянные, количество которых равно порядку уравнения;

2) Эта функция является решением уравнения при любых значениях произвольных постоянных;

3) При заданных начальных условиях произвольные постоянные можно определить единственным образом так, что полученное частное решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Если решение записано в неявном виде, то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Всякое решение, которое полученное из общего решения при конкретных значениях, называется частными решениями.

5.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши Д.У. порядка выше первого (без.док.)

Если функция (n+1)-й переменной в некоторой области (n+1)-мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные Ч.П. по переменным , ( ), то для любой фиксированной точки этой области и при том единственное решение уравнения .

Определенное на и удовлетворяет начальным условиям , , .

Д.У. 2-го порядка c начальными условиями , . Через точку проходят бесконечно много интегральных кривых, и задаем и выбираем единственную интегральную кривую.

6. Понятие линейного ДУ n-го порядка (×)

Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка называется уравнение, в котором искомая функция y(x) и ее производная входят в первых степенях и не перемножаются. Общий вод такого уравнения

a₀y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+ a₂y^(n-2)+…a_ny=f(x), где а₀, а₁, … - либо функция от х, либо постоянные числа.

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид

ay’’+by’+cy=f(x).

Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части. Если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным, или уравнением с правой частью.

7. Однородные линейные ДУ n-го порядка. Две теоремы о свойствах решений ОЛДУ (док.)(×)

a₀y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+ a₂y^(n-2)+…a_ny=f(x) где а₀, а₁, … - либо функция от х, либо постоянные числа.

Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части.

Пусть a₀y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+ a₂y^(n-2)+…a_ny=0 => у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0 где P_n=a_n/ a₀

1) Если у₁(х) – частное решение ЛОДУ у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0 (2) , то функция С *у₁(х), где С=const, также является решением этого ЛОДУ.

Док-во:

Су⁽ⁿ⁾ + P₁Сy^(n-1) +…+ P_n-1 С y’ + P_n С y = 0

С(у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y ) = 0

у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0

2) Если у₁(х) и у₂(х) – решение ЛОДУ , то функции у₁(х) + у₂(х) также являются решениями этого ДУ

Док-во:

(у₁+у₂)⁽ⁿ⁾ + P₁(у₁+у₂) ^(n-1) +…+ P_n-1 (у₁+у₂)’ + P_n (у₁+у₂) =

= [у₁ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₁ ^(n-1) +…+ P_n-1 у₁’ + P_n у₁] + [у₂ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₂ ^(n-1) +…+ P_n-1 у₂’ + P_n у₂] = 0

3)Если у₁(х) и у₂(х)... у_n(х) решение ЛОДУ, то их линейная комбинация С₁ у₁(х) + С ₂у₂(х)... С_n у_n(х) – так же является решение этого уравнения.

8. Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (док.).

Определение: Определитель Вронского (или вронскиан) функций y₁,y₂,…,y_n – это определитель вида:

(где y_1, y_2, y_n - ФСР C₁ ,C₂ ,…,C_n - const)

Определителем этой системой является определитель Вронского

Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным)

Если функции y_1, y_2, … ,y_n - линейно зависимы и имеют производные до (n-1) порядка, то их определитель Вронского тождественно равен 0.

Док-во:

Так как y_1, y_2, … , y_n - линейно зависимы, то существуют числа α₁, α₂, …, α_n (то есть все равные нулю одновременно) такие что α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0 на x (a,b)

Продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений:

α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0

α₁y₁’ + α₂y₂’ + …+ α_ny_n’ = 0

α₁y₁’’ + α₂y₂’’ + …+ α_ny_n’’ = 0 =>

……………………………..

α₁y₁^(n-1) + α₂y₂^(n-1) + …+ α_ny_n^(n-1) = 0

Система имеет нетривиальное решение любых Х из (а,b), определитель этой системы – определитель Вронского.

W[y_1, y_2, … ,y_n ] = 0 для любых Х из [а,b]

9. Теорема о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ(без док.).

Если n решений y_1, y_2, … ,y_n ЛОДУ у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0 линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х ‌| для любого Х из (а,b) .

Следствие:

Определитель Вронского системы решений [y_1, y_2, … ,y_n ] не равен 0 если система линейно независима, либо ‌ 0, если система линейно-зависима.