Описание операций, их классификация и приоритет

Решение задачи Коши. Метод Эйлера.

Если задачу об отыскании решений дифференциального уравнения удаётся свести к конечному числу алгебраических операций, операций дифференцирования и интегрирования известных функций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах.

В приложениях крайне редко встречаются уравнения. интегрируемые в квадратурах. Для исследования и решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, используются численные методы решения задачи Коши.

Численное решение задачи Коши y' = f(x, y), y(a) = y₀ на отрезке [a, b] состоит в построении таблицы приближённых значений y₀, y₁, ..., y_i, ...,y_N решения y = y(x), y(x_i) ≈ y_i ,

в узлах сетки a = x₀< x₁< ...< x_i< ...< x_N = b. Если x_i = a + ih, h = (b-a)/N, то сетка называется равномерной.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x₀ + h используется информация о решении только в точке x₀.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши — метод Эйлера. В методе Эйлера величины y_i вычисляются по формуле :

y_i+1 = y_{i + h·f(xi, yi):}

y' = f(x, y), y(a) = y₀ , x ∈ [a, b],

x_i = a + ih, h = (b-a)/N, i = 0,1 , 2, ..., N,

y(x_i)≈ y_i ,

y_i+1 = y_i + h·f(x_i, y_i).

Для погрешности метода Эйлера на одном шаге справедлива оценка

а для оценки погрешности решения на всём отрезке [a, b] справедливо

Для практической оценки погрешности можно рекомендовать правило Рунге:производятся вычисления с шагом h — вычисляютcя значения y^(h)_i, затем производятся вычисления с половинным шагом h/2 — вычисляютcя значения y^(h/2)_i .

За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 принимают величину

Если соединить точки (x_i, y_i) прямолинейными отрезками, получим ломаную Эйлера — ломаную линию, каждое звено которой с началом в точке (x_i, y_i) имеет угловой коэффициент, равный f(x_i, y_i).

Найти в каждой строке матрицы максимальный и минимальный элементы и поместить их на место первого и последнего элемента строки соответственно.

const

nmax = 20;

var

a: array[1..nmax, 1..nmax] of integer;

n, m, i, j, jmin, jmax, t: integer;

begin

repeat

write('Enter n, m(n<=', nmax, '; m<=', nmax,'): ');

readln(n, m);

until (n in [1..nmax]) and (m in [1..nmax]);

writeln('Source matrix');

for i := 1 to n do

begin

for j := 1 to m do

begin

a[i, j] := random(99);

write(a[i, j]:4);

end;

writeln;

end;

// дабы не было путаницы при перестановке, разделяем цикл:

// сначала ищем и меняем минимум, потом максимум

jmin := 1; jmax := 1;

for i := 1 to n do

begin

for j := 2 to m do

if a[i, j] < a[i, jmin] then jmin := j;

t := a[i, 1];

a[i, 1] := a[i, jmin];

a[i, jmin] := t;

for j := 2 to m do

if a[i, j] > a[i, jmax] then jmax := j;

t := a[i, m];

a[i, m] := a[i, jmax];

a[i, jmax] := t;

end;

writeln('New matrix');

for i := 1 to n do

begin

for j := 1 to m do

write(a[i, j]:4);

writeln;

end;

readln;

end.

Билет № 7

1)Операторы языка описывают некоторые алгоритмические действия, которые необходимо

выполнить для решения задачи. Тело программы можно представить как последовательность

таких операторов.

Составной оператор - это последовательность произвольных операторов программы, заключенная в операторные скобки.

Begin
...
Begin
...
Begin
...
End;
End;
End;

Условный оператор

IF<условие>THEN<оператор1>0[ELSE<оператор2>]

Условие – значение типа BOOLEAN или логическая операция. Если условие верно, выполняется оператор, или блок операторов, следующий за THEN, в противном случае выполняется блок операторов после ELSE, если он есть.

3)Операторы повторений

А)Цикл с предопределенным числом повторений.

For <переменная цикла>:=<начальное значение> To(DownTo) <конечное значение> Do <блок операторов>

Переменная должна быть целого или перечислимого типа. При исполнении цикла переменная цикла изменяется от начального до конечного значения с шагом 1. Если стоит to, то переменная увеличивается, если downto – уменьшается.

Б)Условный цикл с проверкой условия перед исполнением блока операторов.

While <условие> Do <блок операторов>

Блок операторов будет исполняться, пока условие имеет значение true. Необходимо, чтобы значение условия имело возможность изменения при исполнении блока операторов, иначе исполнение цикла не закончится никогда.

В)Условный цикл с проверкой после выполнения блока операторов.

Repeat <тело цикла> Until <условие>

Блок операторов независимо от значения условия будет выполнен хотябы один раз. Цикл заканчивается, если после очередного исполнения блока операторов условие имеет значение true.

Г)Оператор выбора одного из вариантов.

Case <ключ выбора> Of <список выбора> Else <оператор> End;

<ключ выбора> - выражение любого перечислимого типа,
<список выбора> - одна или более конструкций вида <значение ключа>:<блок операторов>.

Билет 8
1)сортировкой или упорядочением массива называется расположение его элементов по возрастанию (или убыванию). Если не все элементы различны, то надо говорить о неубывающем (илиневозрастающем) порядке.
Метод "пузырька"что массив (таблица) расположен вертикально. Элементы с большим значением всплывают вверх наподобие больших пузырьков. При первом проходе вдоль массива, начиная проход "снизу", берется первый элемент и поочередносравнивается с последующими. При этом:

если встречается более "легкий" (с меньшим значением) элемент, то они меняются местами;
при встрече с более "тяжелым" элементом, последний становится "эталоном" для сравнения, и все следующие сравниваются с ним .В результате наибольший элемент оказывается в самом верху массива.Во время второго прохода вдоль массива находится второй по величине элемент, который помещается под элементом, найденным при первом проходе, т.е на вторую сверху позицию, и т.д.

Стандартная процедураswapбудет использоваться и в остальных алгоритмах сортировки для перестановки элементов (их тип мы уточнять не будем) местами:

Сортировка вставками

begin M[0] := -oo; for j:=2 to N do begin i := j; while M[i] < M[i-1] do begin swap(M[i],M[i1]); i := i-1 end end end;

Второй метод называется метод вставок., т.к. на j-ом этапе мы "вставляем" j-ый элемент M[j]в нужную позицию среди элементов M[1], M[2],. . ., M[j-1], которые уже упорядочены. После этой вставки первые j элементов массива M будут упорядочены. нц для j от 2 до Nпереместить M[j] на позицию i <= j такую, что M[j] < M[k] для i<= k < j и либо M[j] >= M[i-1], либо i=1
Чтобы сделать процесс перемещения элемента M[j], более простым, полезно воспользоваться барьером: ввести "фиктивный" элемент M[0], чье значение будет заведомо меньше значения любого из "реальных"элементов массива (как это можно сделать?). Мы обозначим это значение через —оо.
Если барьер не использовать, то перед вставкой M[j], в позицию i-1 надо проверить, не будет ли i=1. Если нет, тогда сравнить M[j]( который в этот момент будет находиться в позиции i) с элементом M[i-1].
Сортировка посредством выбора
Идея сортировки с помощью выбора не сложнее двух предыдущих. На j-ом этапе выбирается элемент наименьший среди M[j], M[j+1],. . ., M[N](см. процедуру FindMin) и меняется местами с элементом M[j]. В результате после j-го этапа все элементы M[j], M[j+1],. . ., M[N]будут упорядочены.
для j от 1 до N-1
выбрать среди M[j],. . ., M[N] наименьший элемент и поменять его местами с M[j]

2.Метод Гаусса является наиболее оптимальным и быстрым решением систем линейный уравнений.