Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Динамические величины и элементы теории напряжений



Для изучения движения сплошной среды в связи с причинами, которые это движение вызывают, вводят понятие о силах. Силы могут быть внешними и внутренними. Первые являются следствием воздействия на рассматриваемое тело других тел, а вторые возникают в результате взаимодействия элементов данного тела. Внешние и внутренние силы могут быть двоякого рода: объемные (или массовые) и поверхностные. Объемная сила действует на массу, заключенную в произвольном элементе объема тела, например сила тяжести.

 

Рис. 5. Схема действия массовых и поверхностных сил в объеме V

 

Пусть (x,t)— объемная сила, отнесенная к единице объема. Тогда сила, действующая на бесконечно малый объем dV, равна

dV, а на объем V—равна (рис. 1).

Поверхностная сила действует на элементы, которые можно мысленно выделить внутри тела или на его поверхности.

Сила, действующая на бесконечно малый элемент поверхности dS, равна dS, где — вектор силы, рассчитанный на единицу площади элемента и приложенный в любой его точке, называется вектором напряженияили просто напряжением(см. рис. 1).

Напряжение зависит от положения элемента dS, т. е. от ориентировки его

в теле. Если требуется указать, что напряжение относится к площадке с нормалью п, то пишут .

Проекции этого вектора на оси произвольной системы координат Ох1х2х3 обозначаются через σnj (j=1, 2, 3). В частности, проекции напряжений xi, отнесенные к площадкам, перпендикулярным к координатным осям Oxi, обозначаются через σij (i,j = 1,2,3), где σii называются нормальными напряжениями, а σij = σji (i≠j) касательными напряжениями, действующими на этих площадках (рис. 5). Легко доказать следующие очень важные соотношения:

σnj = ( i, j = 1,2,3), (1.29)

которые позволяют найти компоненты вектора напряжения для произвольной площадки с нормалью , проходящей через точку М; αi = cos(n, хi) (i = 1, 2, 3).

Поэтому говорят, что совокупность шести величин σij, называемых компонентами симметричного тензора напряжений, полностью характеризует напряженное состояние в точке тела М.



 

 

 
 

 

 
 

 

 

 

Рис. 8. Нормальная и касательная проекции вектора напряжения

 

 

Пусть заданы две площадки, проходящие через одну и ту же точку М (рис. 6). Используя формулу (1.29), нетрудно доказать, что проекция напряжения , действующего на первую площадку, на нормаль ко второй равна проекции напряжения , действующего на вторую площадку, на нормаль к первой и вычисляется по формуле

(1.30)

где α1i и α2j — направляющие косинусы нормалей и . Эта формула позволяет вычислить проекцию на любое направление вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности, проектируя вектор на направление нормали, получаем нормальное напряжение (рис. 7)

(1.31)

Касательное напряжение на этой же площадке равно

(1.32)

где σn — величина вектора напряжения .

Из формулы (1.30) следуют формулы перехода от одной системы Ох1х2х3 координат к другой О ;

(1.33)

где σ'кr — компоненты тензора напряжений относительно новой системы координат;

αкi = cos( ), αrj = cos( ).

Например, зависимость между напряжениями в декартовой (Ох1х2х3) и цилиндрической (r, θ, z) системах координат с общей осью Ox3 = Oz имеет вид

σrr = σ11cos2θ + σ22 sin2θ + σ12 sin 2θ;



σθθ= σ11 sin2θ + σ22 cos2θ - σ12 sin 2θ;

σzz = σ33; (1.34)

σrθ = ( σ22 - σ11)sin 2θ + σ12 cos2θ;

σrz = σ13 cosθ + σ23sin θ;

σθz= - σ13 sinθ + σ23 cosθ;

где σrr—радиальное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной к радиусу; σθθ — тангенциальное (окружное) напряжение, действующее на площадке, нормаль которой перпендикулярна к радиусу.

Принимая во внимание известные соотношения аналитической геометрии

из формул (1.33) после суммирования левой и правой частей по к (при r = к) получается важное соотношение

(1.35)

Оно показывает, что величина σ, называемая средним нормальным напряжением, инвариантна по отношению к преобразованию системы координат.

Характерной особенностью напряженного состояния сплошной среды является наличие в каждой точке тела, по крайней мере, трех взаимно перпендикулярных площадок, на которых касательные напряжения σij (i≠j) равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют главные направления, которые не зависят от исходной системы координат. Соответствующие напряжения σiii называются главными нормальными напряжениями. Поэтому любое напряженное состояние в рассматриваемой точке может быть вызвано растяжением (сжатием) окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Главные нормальные напряжения могут быть найдены из следующего кубического уравнения:

корни этого уравнения могут быть только вещественными.

Так как решения этого уравнения хi = σi (i=1,2,3) не зависят от выбора системы координат, коэффициенты σ, А, В также не должны зависеть, т. е. они инвариантны. Это еще одно доказательство инвариантности среднего напряжения

(1.36)

Два других инварианта физического смысла не имеют.

 
 

(1.37)

Рис. 9. Диаграмма Мора:

/, 2, 3 — окружности, координаты которых определяют нормальные и касательные напряжения на площадках, проходящих через главные оси 1, 2, 3 соответственно

Если главные направления совпадают с координатными осями (Охi), то формулы (1.31) — (1.34) упрощаются. Например, формулы (1.31) и (1.32) принимают вид

(1.38)

где αi= cos (n, xi).

Отсюда нетрудно получить, что напряжения рп и τn могут лежать только внутри области, заштрихованной на рис.9. Это так называемая диаграмма Мора, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Здесь принята нумерация главных осей такой, чтобы выполнялись условия

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 (1.39)

Практический интерес представляют сечения, проходящие через главные оси. На рис. 9 точкам какой-либо окружности 1, 2 или 3 отвечают площадки, содержащие соответствующую главную ось.

Если площадка содержит главную ось Ox1 и наклонена под углом θ к оси Ох2, то из формул (1.38) получается

Эти напряжения соответствуют координатам точек окружности № 1 (см. рис. 9).

По аналогии можно записать формулы для напряжений, действующих на площадках, проходящих через две другие главные оси, иначе, для координат точек окружностей № 2 и 3 на рис. 8.

При θ = π/4, т. е. в сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями, касательные напряжения принимают экстремальные значения

называемые главными касательными напряжениями,

а нормальные напряжения равны полусуммам

что соответствует координатам центров окружностей 1, 2 и 3 (см. рис. 8). Наибольшее из значений τi (i = 1, 2, 3) называется максимальным касательным напряжением и обозначается τmax. Если условия (1.39) выполняются, то τmax = τ2.

Так как различные тела обладают различными механическими свойствами по отношению к сдвигу и равномерному всестороннему сжатию, удобно компоненты тензора напряжения представить в виде суммы

где Sij—компоненты тензора, характеризующего касательные напряжения в данной точке и называемого девиатором напряжений.

Нормальные составляющие девиатора обозначают Sii = σii — σ, а касательные составляющие sij = σij (i≠j).

Главные направления девиатора напряжений (Sij) и тензора напряжений (σij) совпадают, а главные значения si отличаются от σi, на величину среднего (гидростатического) давления и определяются кубическим уравнением

-s3 + A1s+B1=0,

все корни которого также вещественны.

Инварианты A1 и В1 легко получить из формул (1.37), если заменить σij на sij и σi на si.

Неотрицательную величину

(1.40)

называют интенсивностью касательных напряжений.

Часто рассматривают приведенное напряжение или интенсивность напряжений

(1.41)

Величина Т равна нулю только в том случае, когда напряженное состояние есть состояние гидростатического давления.

Доказывается, что с погрешностью не более 7% имеет место равенство

Т ≈ 1,08 τmax.

Для характеристики вида напряженного состояния, подобно характеристике деформационного состояния, используется параметр, введенный Лоде и Надаи:

который изменяется в пределах от —1 до +1. Он указывает на взаимоотношение главных нормальных напряжений, в частности на положение точки σ2 на диаграмме Мора. Для одних и тех же величин μσ диаграммы Мора подобны.

Для чистого растяжения элемента (σ1>0, σ2= σ3 = 0) μσ= —1, для чистого сжатия 1 = σ2 = 0, σ3<0) μσ= 1, для сдвига (σ1>0, σ2=0, σ3= σ1) μσ= 0, для гидростатического давления 1 = σ2 = σ3) μσ не имеет смысла.


Просмотров 528

Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2020 год. Все права принадлежат их авторам!