Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)


 

 

 

 



Понятие о методах штрафных функций



Часто бывает удобным вместо исходной задачи условной оптимизации решить задачу безусловной оптимизации, полученной из исходной путём введения в рассмотрение вспомогательной функции. К числу методов, использующих такой подход, относятся методы штрафных функций. Эти методы мы рассмотрим на примере метода штрафов (внутренних штрафов), применённой к задаче условной минимизации:

f(X) ® min

(3.5.1)

А именно, вместо задачи (3.5.1) рассмотрим задачу безусловной минимизации

F(X, rs)=f(X)+P(X, rs) ® min, (3.5.2)

где

P(X, rs)= ,

=max{0, }= ,

rs - так называемый параметр штрафа. Функция P(X, rs) называется штрафной функцией.

3.5.1. Пусть X* - локально единственное решение задачи (3.5.1) (то есть существует окрестность точки X*, в которой X* является единственным решением задачи), функции f(X) и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки X*. Тогда для достаточно больших rs найдётся точка X*(rs) локального минимума функции F(X, rs) в окрестности X* и X*(rs)=X*.

Таким образом, для решения задачи (3.5.1) достаточно:

1. Составить функцию F(X, rs)=f(X)+P(X, rs).

2. Найти частные производные , j=1, 2, …, n.

3. Решить систему =0, j=1, 2, …, n. Пусть X*(rs) - её решение.

4. Исследовать на знакоопределённость матрицу Гессе H(X*(rs), rs) функции F(X, rs), и если достаточное условие минимума выполняется, то выполняем остальные пункты:

5. Найти пределы xj(rs)= . Тогда X*=( , , …, ) - решение задачи (3.5.1).

6. Найти значения функции f(X) в точках X* локального минимума.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)= ® min

3x1-2x2-5=0.

Решение. 1. Составим функцию F(X, rs):

F(X, rs)= + (3x1-2x2-5)2.

2. Найдём частные производные , :

=4x1+3rs(3x1-2x2-5), =8x2-2rs(3x1-2x2-5)

3. Решаем систему =0, j=1, 2:

Û

Первое уравнение, умноженное на 2, прибавим ко второму, умноженному на 3: 8x1+24x2=0, откуда получаем x1=-3x2. Теперь подставляем это выражение для x1, например, в первое уравнение системы: -12x2-33rsx2-15rs=0, откуда x2(rs)=- и x1(rs)=-3 = .

4. Исследуем на знакоопределённость матрицу Гессе H(X*(rs), rs) функции F(X, rs). Имеем

=4+9rs, =8+4rs, = =-6rs, H(X*(rs), rs)= ,

D1=4+9rs>0, D2=(4+9rs)(8+4rs)+(-6rs)2=88+72rs>0,

то есть D1>0, D2>0, и матрица Гессе H(X, rs)= - положительно определённая. Это означает, что достаточные условного минимума выполнены.

5. Найдём пределы xj(rs)= , j=1, 2. Имеем

x1(rs)= = , x2(rs)= =- .

Поэтому X*=( , - ) - решение задачи.

6. Найдём значения функции f(X) в точке X*=( , - ) локального минимума: fmin(X)=f(X*)=2 +4 = = .

Ответ: X=( , - ) - точка условного локального минимума, fmin(X)= .

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)= ® min

Решение. 1. Составим функцию F(X, rs):

F(X, rs)= + =

=

2. Найдём частные производные , :

=

=

3. Решаем систему =0, j=1, 2:

Случай 1. . Тогда

Û

Первое уравнение, умноженное на 2, прибавляем ко второму, умноженному на 3: 8x1+24x2+rs(x1-1)=0, откуда получаем x2=- x1- . Теперь подставляем это выражение для x2, например, в первое уравнение системы, последовательно получим:

, Û

Û Û ,

откуда x1(rs)= и

x2=- x1- = = + =

× + = ,

то есть x2(rs)= .

При этом имеем

3 -2 -5= .

Это выражение отрицательно, что вступает в противоречие с условием . Значит, этот случай невозможен.

Случай 2. . Тогда

Û

откуда x2(rs)=0 и x1(rs)= .

4. Исследуем на знакоопределённость матрицу Гессе H(X*(rs), rs) функции F(X, rs). Имеем

=4+rs, =8, = =0,

H(X*(rs), rs)= , D1=4+rs>0, D2=(4+rs)8>0,

и матрица Гессе H(X*(rs), rs)= - положительно определённая. Это означает, что достаточные условного минимума выполнены.

5. Найдём пределы xj(rs)= , j=1, 2. Имеем

x1(rs)= =1, x2(rs)= 0=0.

Поэтому X*=(1, 0) - решение задачи.

6. Найдём значения функции f(X) в точке X*=(1, 0) локального минимума: fmin(X)=f(X*)=2× +4×02=2.

Ответ: X=(1, 0) - точка условного локального минимума, fmin(X)=2.

Пример III. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)= ® min

Решение. 1. Составим функцию F(X, rs):

F(X, rs)= + ,

где

=

=

так что функция F(X, rs) зависит от того, отрицательны или неотрицательны функции и . Поэтому рассмотрим отдельно четыре случая

Случай 1. £0 и £0. Тогда

F(X, rs)= , = , = ,

Û Û

Но это противоречит условию £0 Û x1³1.

Случай 2. £0 и >0. Тогда

F(X, rs)= + ,

= , = ,

Û

откуда x1(rs)= и x2(rs)=- (см. решение Примера I). Но при этом имеем

=3 -2 -5=- <0,

то есть <0 - противоречие с условием случая.

Случай 3. >0 и £0. Тогда

F(X, rs)= + , = , = ,

Û

откуда x2(rs)=0 и x1(rs)= . При этом оба неравенства выполняются:

(rs)=1- = >0,

=3 -2×0-5=- .

Как мы уже видели, (см. решение Примера II), X*=(1, 0) - точка локального минимума: fmin(X)=f(X*)=2.

Случай 4. >0 и >0. Тогда

F(X, rs)= + ,

= , = ,

Û

откуда x1(rs)= и x2(rs)= (см. решение Примера II). Но мы уже видели (см. там же), что тогда , что противоречит условию случая.

Ответ: X=(1, 0) - точка условного локального минимума, fmin(X)=2.

3.6. Упражнения. Исследовать функции на условный экстремум:

1) а) ® extr б) ® extr

; ;

в) ® extr

x1+x2+6=0.

2) а) ® extr б) ® extr

в) ® extr г) ® extr

3) а) ® extr б) ® extr

4) а) ® extr б) ® extr


Просмотров 1528

Эта страница нарушает авторские права



allrefrs.ru - 2023 год. Все права принадлежат их авторам!