Условный экстремум при ограничениях типа равенств

В этом случае утверждения, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.4 принимают следующую редакцию, соответственно:

3.2.1. Пусть X^*ÎR^п - точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М={X|j_i(X)=0, i=1, 2, …, m}. Тогда существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю и такие, что выполняются условия:

условия стационарности обобщённой функции Лагранжа по X:

=0, j=1, 2, …, n; (3.2.1.a)

условие допустимости решения:

j_i(X^*)=0, i=1, 2, …, n; (3.2.1.б)

Если при этом градиенты Ñj₁(X^*), Ñj₂(X^*), …, Ñj_m(X^*) в точке X^* линейно независимы, то ≠0.

При решении задач, как правило, рассматривают два случая: =0 и ≠0. В последнем случае в системе (3.2.1.а) полагают =1, при котором функция Лагранжа становится классической, система (2.2.1) принимает вид

=0, j=1, 2, …, n, (3.2.2.a)

j_i(X^*)=0, i=1, 2, …, n. (3.2.2.б)

3.2.2. Пусть X^*ÎR^п - регулярная точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М и имеется решение (X^*, L^*) системы (3.2.1). Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (X^*, L^*), неотрицателен (неположителен):

d²L(X^*, L^*)³0 (d²L(X*, L^*)£0) (3.2.3.а)

для всех таких dxÎR^п, что

dj_i(X^*)= =0 (i=1, 2, …, m). (3.2.3.б)

3.2.3. Пусть (X^*, L^*) - точка, которая является решением системы (3.2.1). Если в этой точке полный дифференциал второго порядка классической функции Лагранжа, положителен (отрицателен)

d²L(X^*, L^*)>0 (d²L(X^*, L^*)<0)

для всех таких dxÎR^п, что

dj_i(X^*)= =0 (i=1, 2, …, m),

то точка X^* является точкой локального минимума (максимума) задачи.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум с ограничениями типа равенства (то есть найти для функции точки условных экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l₀, L)=l₀f(X)+

2. Составить систему:

(3.2.1)

3. Решить систему (3.2.1) для двух случаев:

а) l₀=0;

б) l₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X^*.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого можно, в силу Замечанияв пункте 2.1, применить критерии типа Сильвестра к функции d²L(X^*, L^*), или проверить это непосредственно, выразив из системы (3.2.3.б) любые m дифференциалов через остальные n-m и подставив их в d²L(X^*, L^*). Если d²L(X^*, L^*)>0 при ненулевых dx, то точка X^* является точкой условного минимума, а если d²L(X^*, L^*)<0, то - точкой условного максимума. Если достаточные условия не выполняются, то проверяются необходимые условия второго порядка. Если они выполняются, то требуется дополнительные исследования; если нет, то точка X^* не является точкой условного экстремума.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

При проверке достаточных условий в условно-стационарных точках (при l₀=1) более эффективно воспользоваться непосредственной проверкой.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x₁+x₂®extr

.

Решение. Действуем по вышеприведённой схеме. В нашем случае j₁(Х)=j (Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, l₀, L)=l₀(x₁+x₂)+l₁( ).

2. Составим систему (3.2.1). Имеем =l₀+2l₁x₁, =l₀+2l₁x₂. Поэтому

(3.2.4)

3. Решаем систему для двух случаев:

а) l₀=0.

Имеем l₁≠0, так как по 3.2.1 в точке локального экстремума X^* не все l₀ и l₁ равны нулю. Тогда x₁=0 и x₂=0. Но тогда j(X^*)≠0, то есть X^*=(0, 0) не удовлетворяет ограничению задачи. Значит, условно-стационарных точек при l₀=0 нет.

б) l₀=1.

(3.2.4) Û

Из первых двух уравнений системы получаем x₁= , x₂= , подставляя которые в третье, имеем =8 Û = Û l₁=± . Отсюда x₁= 2, x₂= 2, то есть (X₁, L₁)=(2, 2, ), (X₂, L₂)=(-2, -2, ) - две условно-стационарные точки.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных при l₀=1, проверим достаточные условия экстремума. Для этого исследуем полный дифференциал второго порядка d²L(X^*, L^*) классической функции Лагранжа как квадратичную форму от dx₁, dx₂.

Имеем

= =2l₁, = =0.

Поэтому d²L=2l₁d +2l₁d .

Способ 1. Имеем H(X)= , для которого угловые миноры равны D₁(X)=2l₁ и D₂(X)=4 . При l₁=- , то есть для точки X₁=(2, 2), имеем D₁(X₁)=- <0 и D₂(X₁)= >0. Это означает, что в точке (X₁, L₁)=(2, 2, - ) d²L отрицательно определена, и X₁ - точка регулярного условного локального максимума. При l₁= имеем D₁(X₂)= >0 и D₂(X₂)= >0, и в точке (X₂, L₂)=(-2, -2, ) d²L положительно определена, и X₂ - точка регулярного условного локального минимума.

Способ 2. Имеем dj=2x₁dx₁+2x₂dx₂. Выразим из dj=0 dx₂ через dx₁:

2(-2)dx₁+2(-2)dx₂=0 Û -4dx₁-4dx₂=0 Û dx₂=-dx₁

и подставим его в d²L: d²L=2l₁d +2l₁(-dx₁)²=4l₁d , то есть d²L=4l₁d . Тогда

d²L(X₁, L₁)=-d <0 при dx₁≠0 и

d²L(X₂, L₂)=d >0 при dx₁≠0.

Поэтому X₁ - точка регулярного условного локального максимума, X₂ - точка регулярного условного локального минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f_max=f(X₁)=2+2=4, f_min=f(X₂)=-2-2=-4.

Ответ: X₁=(2, 2) - точка регулярного условного локального максимума, f_max=4, X₂=(-2, -2) - точка регулярного условного локального минимума, f_min=f(X₂)=-4.

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x₁x₂®extr

.

Решение. Имеем j₁(Х)=j(Х)= Так как Ñj(Х)=(2x₁, 2x₂)≠0 для всех хÎM, то условие регулярности выполнено, то есть l₀≠0 и можно считать l₀=1. Далее действуем по схеме.

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, L)=(x₁x₂)+l₁( ).

2. Составим систему (3.2.1). Имеем =x₂+2l₁x₁, =x₁+2l₁x₂. Поэтому

3. Решаем полученную систему. Выразим из второго уравнения системы x₁ через x₂ (x₁=2l₁x₂) и подставим его в первое уравнение:

x₂+2l₁(-2l₁x₂)=0 Û x₂(1-4 )=0.

Заметим, что x₂¹0, так как в противном случае x₁=0, то есть x₁=x₂=0, что не удовлетворяет третьему уравнению. Поэтому

x₂(1-4 )=0 Û 1-4 Û l₁= ,

откуда x₁= x₂, подставляя которое в третье уравнение системы, приходим к уравнению , то есть x₁= 2, откуда x₂= 2. При этом знаки у x₁ и x₂ не зависят от того, l₁= или l₁= . Таким образом, решением системы являются четыре точки: (X₁, L₁)=(2, 2, ), (X₂, L₂)=(-2, -2, ), (X₃, L₃)=(-2, 2, ), (X₄, L₄)=(2, -2, ).

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2l₁, = =1.

Способ 1. Имеем H(X)= , D₁(X)=2l₁, D₂(X)=4 -1. Тогда D₁(X₁)=D₁(X₂)=2× =-1<0, D₂(X₁)=D₂(X₂)=4× -1=0, то есть D₁<0 и D₂=0, и для точек X₁ и X₂ достаточные условия второго порядка не выполнены, в то время, как необходимые условия второго порядка выполнены. Аналогично, D₁(X₃)=D₁(X₄)=1>0 и D₂(X₃)=D₂(X₄)=0. Таким образом, этот способ не даёт ответа на вопрос об экстремальности условно-стационарных точек.

Способ 2. Имеем d²L=2l₁d +2dx₁dx₂+2l₁d . Так как dj=2x₁dx₁+2x₂dx₂, то dj=0 Û dx₂=-dx₁, и d²L=4l₁d -2d . Тогда

d²L( )=d²L( )=-4d <0 при dx₁≠0

Поэтому точки X₁ и X₂ - точки регулярного условного локального максимума.

Далее, d²L( )=d²L( )=4× d -2d =0. Это означает, что достаточное условие условного экстремума в точках X₃ и X₄ не выполняется, в то время, как выполняется необходимое условие второго порядка. Поэтому требуется дополнительное исследование. Например, заметим, что функция f(X)=x₁x₂ непрерывна везде, в том числе и во множестве {(x₁, x₂)| }. Поэтому она достигает на этом множестве своих экстремумов, в том числе минимумов. В этих точках (где достигается условный минимум) обязательно выполняется необходимое условие. Следовательно, X₃ и X₄ - точки условного минимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного максимума и в точках условного минимума:

f_max=f(X₁)=f(X₂)=(±2)×(±2)=4, f_min=f(X₃)=f(X₄)=(±2)×( 2)=-4

Ответ: X₁=(2, 2) и X₂=(-2, -2) - точки регулярного условного локального максимума, f_max=4; X₃=(-2, 2) и X₂=(2, -2) - точки регулярного условного локального минимума, f_min=-4.