Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Безусловный экстремум функций двух переменных



Напомним, что в данном параграфе мы рассматриваем классические методы оптимизации, и для функций нескольких переменных ограничиваемся двумя переменными: z=f(x, y). Также напомним, что в отношение вектора возможно одновременное применение в качестве обозначений как строки, так и столбца. При чтении произведений типа AX или XA, где X - вектор, а A - (m´n)-матрица, разночтений быть не должно: в первом случае - это столбец с n элементами, во втором - строка с m элементами.

1.3.1. (Необходимое условие экстремума функции двух переменных) Пусть X*=(x0, y0R2 - точка локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на множестве R2 и z=f(x, y) дифференцируема в точке X*. Тогда градиент функции z=f(x, y) в точке X* равен нулю:

Ñz(X*)=0, (1.3.1)

что равносильно системе

(1.3.2)

Точки, удовлетворяющие условиям (1.3.1) или (1.3.2), называются стационарными.

Условия 1.3.1 и 1.3.2 являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными. Действительно, для функции f(x, y)=x3-y3 точка X*=(0, 0) является стационарной точкой, так как

, =0 Û (3x2, 3y2)=0 Û (х, y)=0

(то есть выполняются условия (1.3.1) и (1.3.2)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки X1 и X2, в которых имеют место неравенства f(X1)<f(X*)<f(X2): достаточно взять X1=(0; e) и X2=(e; 0), где e>0 - сколь угодно малое число.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

1.3.2. (Достаточные условия экстремума функции двух переменных) Пусть функция z=f(x, y) в точке X*=(x0, y0) дважды дифференцируема, Ñz(X*)=0 и или , >0 ( или ). Тогда точка X* является точкой локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на R2.

Другими словами, в точке X*=(x0, y0) функция z=f(x, y) достигает своего экстремума, если D(X*)= >0; при этом вид экстремума будет минимумом, если или , и максимумом при или .

Отметим, что если D(X*)<0, то в точке X* экстремума нет, а при D(X*)=0 экстремум может существовать, а может и не существовать. В этом случае для решения вопроса требуются дополнительные исследования.



Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию двух переменных на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции частные производные первого порядка.

2. Решив систему (1.3.2), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции частные производные второго порядка и составить матрицу H(X)= .

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого вычислить определитель D(X*)= , и если D(X*)<0, то X* не является точкой экстремума. Если D(X*)>0, то X* - точка экстремума, и по знаку или определить вид экстремума.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример IV. Исследовать функцию z=2x2+3xy+2y2+3x-3y+2 на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =4x+3y+3, =3x+6y-3.

2. Решая систему (1.3.2), найдём стационарные точки функции:

Û Û

Применив к последней системе, например, правило Крамера, получаем (x, y)= , то есть X*= - стационарная точка.

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу H(X)= : =4, = =3, =6, H(X)= .



4. Так как D= =27>0, то в точке X*= функция достигает своего экстремума. При этом =4>0. Поэтому в точке X* функция достигает минимума.

5. Вычисляем значение функции в точке минимума:

fmin(x, y)=f =2 +3 × +2× +3 -3× +2= .

Ответ: fmin(x, y)= достигается в точке , точек максимума у функции нет.

Пример V. Исследовать функцию z=3xy-xy2-x2y на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =3y-y2-2xy, =3x-2xy-x2.

2. Решая систему (1.3.2), найдём стационарные точки функции:

Û

Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к уравнению 3y-3x-y2+x2=0. Дальнейшие очевидные преобразования приводят к уравнению (y-x)(3-y-x)=0. Дальше рассмотрим отдельно два случая:

Случай 1. y-x=0, то есть y=x. Подставляя это равенство, например, в первое уравнение системы, получаем уравнение 3x-3x2=0, решениями которого являются x1=0 и x2=1. Тогда решениями системы являются Х1=(0, 0) и Х2=(1, 1).

Случай 2. 3-y-x=0, то есть y=3-x. Подставляя это равенство во второе уравнение системы, получаем уравнение -3x+x2=0, решениями которого являются x1=0 и x2=3. Тогда y1=3-0=3, y2=3-3=0, и решениями системы являются Х3=(0, 3) и Х4=(3, 0).

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу H(X):

=-2y, =-2х, = =3-2(x+y), H(X)= .

4. Определим, какие из стационарных точек Х1=(0, 0), Х2=(1, 1), Х3=(0, 3) и Х4=(3, 0) являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого для каждой из стационарных точек X* находим значение D(X*)=|H(X*)|, и если D(X*)>0, то определяем вид экстремума.

Пусть X*=Х1=(0, 0). Тогда H(X1)= и D(X1)=-9<0. Значит, Х1=(0, 0) не является точкой экстремума.

Пусть X*=Х2=(1, 1). Тогда H(X2)= и D(X2)=3>0. Значит, Х2=(0, 0) является точкой экстремума. Так как (X2)=-2<0, то в этой точке достигается максимум.



Для точек X3 и X4 имеем H(X3)= , H(X4)= , D(X3)=D(X4)=-9<0, и эти точки не являются точками экстремума.

Таким образом, из стационарных точек только точка X2 является точкой экстремума - точкой максимума.

5. Вычисляем значение функции в этой точке:

fmax(x, y)=f(X2)=3×1×1-1×12-12×1=1.

Ответ: (1, 1) - точка локального максимума, fmax(X)=1.


1.4. Условный экстремум функций двух переменных.В стандартных курсах высшей математики (математического анализа), как правило, ограничиваются задачей условного экстремума функции двух переменных с одним ограничением типа равенства:

f(x, y) ® min (max)

j(x, y)=0 (1.4.1)

Множество, определяемое ограничением j(x, y)=0, обозначим через М.

Функция

L(x, y, l)=f(x, y)+lj(x, y) (1.4.2)

называется классической функцией Лагранжа, число l - множитель Лагранжа.

1.4.1. (Необходимые условия условного экстремума функции от двух переменных с одним ограничением). Пусть X*=(x0, y0R2 - точка локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на множестве М. Тогда существует число ¹0 такое, что выполняются условия:

(1.4.3)

Точки, удовлетворяющие системе (1.4.3) при некотором , называются условно-стационарными.

Ясно, что условия (1.4.3) - не что иное, как необходимое условие экстремума функции Лагранжа (так как ). Поэтому решение задачи (1.4.1) сводится к исследованию функции Лагранжа (1.4.2) на безусловный экстремум. В общем случае решение этой задачи рассматривается ниже. Мы же к данному моменту умеем исследовать на безусловный экстремум только функцию двух переменных. А пока предлагаем следующую схему решения задачи (1.4.1).

1) Построить классическую функцию Лагранжа (1.4.2).

2) Найти частные производные , функции Лагранжа.

3) Решая систему (1.4.3) найти условно-стационарные точки.

4) Вычислить значения функции z=f(x, y) в точках X*=(x0, y0) для условно-стационарных точек (X*, )=(x0, y0, ).

5) Если значения функции z=f(x, y) для различных X* не совпадают, то выбрать из них наибольшее и наименьшее значения. Они и будут искомыми условными экстремумами.

6) Если значения функции z=f(x, y) для всех X* совпадают, в частности, если условно-стационарная точка единственна (решение системы (1.4.3) единственное), то по некоторым другим признакам определяем, какой вид экстремума достигается в точке (x0, y0). Например, взяв точку, координаты (x1, y1) которой удовлетворяют уравнению j(x, y), отличную от (x0, y0), вычисляем значение функции в этой точке и сравниваем с f(x0, y0). Если f(x0, y0)<f(x1, y1), то (x0, y0) - точка условного минимума, а если f(x0, y0)>f(x1, y1), то (x0, y0) - точка условного максимума.

Пример VI. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(x, y)=x+y®extr

.

Решение. В нашем случае j(x, y)=j (Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(x, y, l)=x+y+l( ).

2. Найдём частные производные функции L(x, y, l):

=1+2lx, =1+2ly.

3. Решим систему (1.4.3):

Û Û

Из первых двух уравнений системы получаем x= , y= , подставляя которые в третье, имеем =8 Û = Û l . Отсюда x= 2, y= 2, то есть (X1, l1)=(2, 2, ), (X2, l2)=(-2, -2, ) - две условно-стационарные точки.

4. Вычислим значения функции в точках X1=(2, 2) и X2=(-2, -2) для условно-стационарных точек (X1, l1)=(2, 2, ) и (X2, l2)=(-2, -2, ) (решений системы (1.4.3)):

f(X1)=f(2, 2)=2+2=4, f(X2)=f(-2, -2)=-2-2=-4.

5. Так как f(X1)=4>-4=f(X2), то есть f(X1)>f(X2), то в точке X1=(2, 2) достигается условный максимум функции z=x+y, а в точке X2=(-2, -2) достигается условный минимум.

Ответ: X1=(2, 2) - точка регулярного условного локального максимума, f(X1)=4, X2=(-2, -2) - точка регулярного условного локального минимума, f(X2)=-4.

Упражнения.

1.4.1. Найти экстремумы функций y=f(x):

а) f(x)=x2(1-x );

б) f(x)= ;

в) f(x)=x-2lnx.

1.4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a, b]:

а) f(x)=x4-2x2+3, [-3, 2];

б) f(x)= , [-1, 8];

в) f(x)=x-2lnx, [0, 4].

1.4.3. Найти экстремумы функций z=f(x, y):

а) f(x, y)=x2-xy+y2+9x-6y+20;

б) f(x, y)=3x2-x3+3y2+4y;

в) f(x, y)= (x+y2).

1.4.4. Решить задачу на условный экстремум:

а) x2-xy+y2+x+y-4 ® max(min),

x+y+3=0;

б) xy2 ® max(min),

x+2y=1;

в) x+y ® max(min),

.

 


Просмотров 4101

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!