Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Безусловный экстремум функции одной переменной



1.1.1. (Необходимое условие экстремума функции одной переменной) Пусть xR - точка локального минимума (максимума) функции y=f(X) на множестве R и f(x) дифференцируема в точке x*. Тогда производная функции f(x) в точке x* равна нулю:

f¢(x*)=0. (1.1.1)

Точка, удовлетворяющая условию (1.1.1), называется стационарной.

Условие 1.1.1 является необходимым условиям экстремума, но не достаточным. Действительно, для функции y=x3 точка x*=0 является стационарной точкой, так как f¢(x)=0 Û 3x2=0 Û х=0 (то есть в точке х=0 выполняется условие (1.1.1)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки x1 и x2, в которых имеют место неравенства f(x1)<f(x*)<f(x2): достаточно взять x1=-e и x2=e, где e>0 - сколь угодно малое число: f(x1)=-e3, f(x2)=e3 и -e3<0<e3.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

1.1.2. (Первое достаточное условие экстремума функции одной переменной). Пусть производная y¢=f¢(x) функции y=f(x) в стационарной точке x* меняет знак на противоположный. Тогда точка x* является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с «+» на «-», то точка x* является точкой максимума, а если производная меняет знак с «-» на «+», то точка x* - точка минимума.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию одной переменной на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции производную.

2. Решив уравнение (1.1.1), найти стационарные точки функции.

3. Решив неравенство y¢>0 (y¢<0), определить, меняет ли знак производная в стационарных точках.

4. По характеру перемены знака производной определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни теми, ни другими.

5. Вычислить значения экстремумов функции (то есть вычислить значения функции в точках экстремума).



Пример I. Исследовать функцию y=4x3+9x2+6x-1 на экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции производную: y¢=12x2+18x+6.

2. Решая уравнение (1.1.1), найдём стационарные точки функции:

y¢=0 Û 12x2+18x+6=0 Û 2x2+3x+1=0, D=32-4×2×1=1, x1, 2= = ,

то есть x1= , x2=-1 - стационарные точки функции.

3. Решая неравенство y¢>0, определяем, меняет ли знак производная в стационарных точках (используя метод интервалов):

y¢>0 Û 2x2+3x+1=0 Û 2(x+ )(x+1)>0 Û xÎ(- ; -1)È( ; + ).

В частности, это означает, что y¢<0 Û xÎ(-1; ), то есть y¢ меняет знак на противоположный в обеих стационарных точках.

4. В точке x1= y¢ меняет знак с «-» на «+». Поэтому эта точка - точка минимума. В точке x2=-1 y¢ меняет знак с «+» на «-». Поэтому эта точка - точка максимума.

5. Вычисляем значения экстремумов функции в точках экстремума:

fmin(x)=f =4 +9 +6 -1= ,

fmax(x)=f(-1)=4(-1)3+9(-1)2+6(-1)-1=-2.

Ответ: x=-1 - точка локального максимума, fmax(x)=-2,

x= - точка локального минимума, fmin(x)= .

1.1.3. (Второе достаточные условия экстремума функции одной перменной) Пусть функция y=f(x) в точке x* дважды дифференцируема, f¢(x*)=0 и f¢¢(x*)>0 (f¢¢(x*)<0). Тогда точка x* является точкой локального минимума (максимума) функции f(x) на R.



Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на безусловный экстремум, достаточно:

1. Найти у функции производную.

2. Решив уравнение (1.1.1), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции производную второго порядка.

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни теми, ни другими. Для этого вычисляем значение второй производной в стационарных точках.

5. Вычислить значения экстремумов функции.

Пример II. Исследовать функцию y=4x3+9x2+6x-1 на экстремум.

Решение. 1. y¢=12x2+18x+6.

2. y¢=0 Û x1= и x2=-1.

3. Найдём у функции производную второго порядка: y¢¢=24x+18.

4. Подставляя в y¢¢ стационарные точки. Определяем, какие из них являются точками максимума, какие - точками минимума: y¢¢(-1)=24(-1)+18=6<0. Поэтому x=-1 - точка максимума.

Далее, y¢¢ =24 +18=6>0. Поэтому x= - точка минимума.

5. fmax(x)=f(-1)=-2, fmin(x)=f = .

Ответ: x=-1 - точка локального максимума, fmax(x)=-2,

x= - точка локального минимума, fmin(x)= .


Просмотров 1420

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!