Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Теорема 13. Якщо функція диференційовна в точці , тоді існують границі та і вони дорівнюють відповідно А і В



Б-9

1. Границя функції двох змінних. Означення та основні властивості.

Означення. Число А називається границею функції при , , якщо для будь-якого існує число таке, що при виконанні нерівності виконується нерівність і позначається або .

Зауваження. Для функції багатьох змінних справедливі теореми про границю суми,
добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.

Наведемо формулювання відповідних теорем.

Теорема 1. Якщо функція має границю при , то вона єдина.

Теорема 2. Якщо функція має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 3. Якщо , і в деякому околі точки виконується нерівність , то .

Теорема 4. Нехай , . Тоді:

1) ;

2) ;

3) .

 

2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами. Випадок різних коренів характеристичного рівняння.

Корені характеристичного рівняння дійсні і різні.

Тоді дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формули

Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно

так як останній визначник є визначник Вандермонда, який не дорівнює нулю, коли всі числа - різні.

В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд

(5.31)

в області (5.32)

де – довільні сталі.


Б-10

1. Означення частинної похідної. Приклади знаходження за означенням частинних похідних від найпростіших функцій.

Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y – приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають повним приростом функції f(x,y) .

Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо

.

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції від n (n>2) змінних.

Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y) називаються частинними приростами функції f(x,y) .

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя

(6.1)

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно.

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення :

f¢x(x,y); z¢x; ;

f¢y(x,y); z¢y; .

Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y).



Варто пригадати, що звичайна похідна f¢(x) = задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами. Випадок кратних коренів характеристичного рівняння.

Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння. Припустимо, що -кратний корінь характеристичного рівняння (5.30), так що , але (5.33)

Щоб знайти розв’язки, які відповідають характеристичному числу , продиференціюємо тотожність (5.34)

раз ро , використовуючи при цьому формулу

Для знаходження похідної від добутку функції використовуємо формулу Лейбніца.

Де .

Маємо

Використовуючи (5.33) запишемо

тобто функції (5.35) являються розв’язками Д.Р. (5.27). Ці функції лінійно незалежні на .

Таким чином дійсному кореню кратності відповідає дійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35)

Якщо характеристичне рівняння має комплексні корені кратності , то лінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд

(5.36)

Розв’язки (5.36) лінійно незалежні на інтервалі


Б-11

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами. Випадок комплексних коренів характеристичного рівняння.

Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.

Нехай – пара комплексноспряжених коренів. Два дійсних, лінійно не залежних розв’язків будуються таким чином: кореню відповідає комплексний розв’язок . Згідно доведеному вище, функції , також являються розв’язками Д.Р. (5.27), які являються незалежними в інтервалі . Аналогічно кореню відповідають два дійсних, лінійно незалежних розв’язки , . Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.



Таким чином, кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає два дійсних лінійно незалежних розв’язків виду, , , які разом з розв’язком ( – дійсні числа) утворюють фундаментальну систему розв’язків на інтервалі .

Приклад 5.6.

Знайти загальні розв’язки

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

,

Тоді

загальний розв’язок.

Приклад 5.7.

,

Приклад 5.8.

,

 

 

2. Диференціал функції двох змінних та формула для його застосування до наближених обчислень.

Означення. Функція називається диференційовною у точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:

,

де А, В - числа, α, β - нескінченно малі при .

Головна лінійна частина приросту функції, тобто називається повним диференціалом функції (точніше першим диференціалом) двох змінних у точці і позначається

.

Теорема 13. Якщо функція диференційовна в точці , тоді існують границі та і вони дорівнюють відповідно А і В.

Означення. Нехай функція визначена в точці і в її деякому околі. Якщо існує границя , то вона називаєтьсячастинною похідною за х (за у) функції у точці і позначається , або , або . Таким чином, , . Із означення частинних похідних матимемо, що вони шукаються за тими правилами, що й похідні функції однієї змінної. Треба лише памятати, що при знаходженні у вважається сталою, а при знаходженні змінна х вважається сталою.

Тепер можна сформулювати теорему 13 інакше:


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!