Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Координатный способ задания движения точки



Рассматривается движение точки М в неподвижной системе отсчёта OXYZ (рис. 2.1). Единичные векторы (орты) i, j, k показывают положительные направления отсчёта координат X, Y, Z. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, которую называют траекторией движения точки. По виду траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Положение точки М в неподвижной системе отсчёта (НСО) определяется тремя координатами X, Y, Z. При движении точки М её координаты изменяются с течением времени. Следовательно, коорди

 
 

наты X, Y, Z движущейся точки М являются функциями времени t.

Систему трёх уравнений X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) называют уравнениями движения точки в пространстве в декартовых координатах.

 
 

Пример: X = 10·t2 + 1; Y = 7·t3 + t2 + 1; Z = 10·sin(p·t). Действительно, имея эти уравнения, можно для любого момента времени найти значения соответствующих координат X, Y, Z и по ним определить положение точки в пространстве в этот момент времени.

Движение точки М на плоскости (рис. 2.2) определяется двумя уравнениями: X = f1(t); Y = f2(t). Эти выражения называют уравнениями движения точки на плоскости в декартовой системе отсчёта.

Пример. Заданы уравнения движения точки в плоскости OXY. X = 3·t2 + t2 + t; Y = 7·cos(p·t).

Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, рассматривают как параметрические уравнения траектории точки. При исключении параметра t из уравнений движения получают уравнение траектории точки в координатной форме (Y = f(t)).

 
 

Пример. Заданы уравнения: X = 4·t (см); Y = 16·t2 – 1 (см) движения точки в плоскости OXY. Определить вид траектории движения точки, построить её график и найти положение точки на траектории движения в момент времени t1 = 0,5 с.

Решение. Из уравнения X = 4·t находим t = X/4. Значение времени t подставляем в уравнение Y = 16·t2 – 1. Получаем

Y = 16·(X/4)2 – 1 = X2 – 1.

Выражение Y = X2 – 1 есть уравнение параболы (y= a·x2+b·x+c) с вершиной в точке с координатами (0, – 1). В момент времени t1 = 0,5 с определяем координаты:

X(t1) = 4·t1 = 4·0,5 = 2 см > 0;

Y(t1) = 16·(t1)2 – 1 = 16·(0,5)2 – 1 = 3 см >0.

Показываем положение точки на траектории её движения (рис. 2.3).

Пример. Дано: X = 3·sin(p·t), см (1); Y = 3·cos(p·t), см (2); t1 = 0,25 c. Определить вид траектории движения точки и её положение на траектории движения в момент времени t1.



Решение. Уравнения движения точки представим в следующем виде: (X)2 = (3·sin(p·t))2 (1I); (Y)2 = (3·cos(p·t))2 (2I). Для решения используем тригонометрическую формулу sin2(α) + cos2(α) = 1.

Складывая левые и правые части уравнений (1I) и (2I), получим (X)2 + (Y)2 = 32·(sin2(p·t) + cos2(p·t)) = 32·1 или (X)2 + (Y)2 = 32. Известно, что уравнение (X)2 + (Y)2 = R2 есть уравнение окружности радиусом R с центром в начале координат. Таким образом, точка

 
 

движется по окружности радиусом R = 3 см (рис. 2.4).

Определяем положение точки на траектории движения в момент времени t1.

X(t1) = 3·sin(p·t1) = 3·sin(p·0,25) = 3·0,707 = 2,121 см > 0.

Y(t1) = 3·cos(p·t1) = 3·cos(p·0,25) = 3·0,707 = 2,121 см > 0.

Показываем точку на траектории её движения (см. рис. 2.4).

ВНИМАНИЕ! Если точка не попадает на траекторию её движения, то:

1) неверно определен вид траектории движения;

2) неверно рассчитаны значения координат X(t1), Y(t1).

 

Прямолинейное движение точки М определяется одним уравнением движения X = f(t).

 

Пример. Дано: X = 10·t2 + sin(2·p·t) + 3, см (рис. 2.5).

 
 

Определить положение точки на траектории движения в начальный момент времени t0 = 0 и в момент времени t1 = 1 c.

Решение.

X(t0) = 10·(t0)2 + sin(2·p·t0) + 3 = 10·02 + sin(2·p·0) + 3 = 3 см > 0.

X(t1) = 10·(t1)2 + sin(2·p·t1) + 3 = 10·12 + sin(2·p·1) + 3 = 13 см > 0.

Значения координат X(t0), X(t1) наносим на рис. 2.5.

 

 

Скорость точки

 

 

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта.

 

Скорость точки всегда направлена по касательной к траектории её движения.



Пусть заданы уравнения движения точки в пространстве: X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) (рис. 2.6).

Разложим вектор V скорости точки на составляющие по координатным осям: V = VOX + VOY + VOZ. Векторы VOX, VOY, VOZ называют компонентами скорости по координатным осям. Вектор Vскорости можно выразить векторным равенством:

V = i· + j· + k· ,

где , , – проекции скорости V на соответствующие координатные оси.

В инженерных расчётах рекомендуется использовать следующие обозначения проекций скорости V на координатные оси: ; ; .

Сравнивая последние формулы, запишем равенство

V = VOX + VOY + VOZ = i· + j· + k· .

Из этого равенства имеем:

VOX = i· ; VOY = j· ; VOZ = k· .

Проекции скорости на координатные оси системы отсчёта равны первым производным по времени от соответствующих уравнений движения:

= dX/dt; = dY/dt; = dZ/dt,

где точка (·) означает символ однократного дифференцирования функции по времени.

Зная проекции скорости на координатные оси, находят модуль скорости по формуле

.

Ориентацию вектора скорости V в системе отсчёта OXYZ определяют по направляющим косинусам:

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V; cos(V, k) = / V.

Движение точки в плоскости OXY (рис. 2.7) задаётся двумя уравнениями движения: X = f1(t); Y = f2(t).

Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются по формулам:

;

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V.

 
 

Прямолинейное движение точки (рис. 2.8) задаётся одним уравнением X = f(t).

В этом случае модуль скорости точки равен абсолютной величине проекции скорости на координатную ось ОХ.

V = | | = |dX/dt|.

При > 0 точка движется в сторону увеличения координаты Х, при < 0 – противоположно направлению оси.

Ускорение точки

 

 

Ускорениевекторная величина, характеризующая быстроту изменения величины и направления скорости.

 

Ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения.

Рассматривается движение точки на плоскости в системе отсчёта OXY (рис. 2.9) по заданным уравнениям движения X = f1(t); Y = f2(t).

Согласно рис. 2.9 запишем векторное равенство

а = аОХ +aOY = i· + j· ,

где а – ускорение точки; аОХ, aOYкомпоненты ускорения по координатным осям; , проекции ускорения на координатные оси.

Здесь две точки (··) означает символ двойного дифференцирования функции по времени.

 

Распространяя полученный результат на пространство (система отсчёта OXYZ), получим

а = аОХ + aOY + aOZ=i· + j· + j· .

Как правило, проекции ускорения а на координатные оси в технической литературе обозначаются так: , , .

Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих уравнений движения или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

= d2X/dt2 = ;

= d2Y/dt2 = ;

= d2Z/dt2 = .

Модуль ускорения находится по следующим формулам:

a = (точка движется в пространстве);

a = (точка движется в плоскости);

a = | |(точка движется по прямой линии).

Направляющие косинусы находятся по следующим формулам:

cos(a, i) = / a; cos(a, j) = / a; cos(a, k) = / a.

Зная направляющие косинусы, вектор ускорения а ориентируют в пространстве.

Рассматривается движение точки по прямой линии согласно заданному уравнению движения X = f(t) (рис. 2.10).

 
 

При таком движении справедливо равенство а = аОХ =i· . На рис. 2.10 дополнительно показано ускорение а0–начальное ускорение точки при t0 = 0.

 

Примечания:

1. Если проекции ускорения на координатные оси положительны ( > 0, > 0, > 0), то компоненты ускорения по координатным осям (аОХ, aOY, aOZ) направлены в те же стороны, что и единичные векторы (I, j, k) системы отсчёта OXYZ.

2. Если проекции ускорения на координатные оси отрицательны ( < 0, < 0, < 0), то компоненты ускорения по координатным осям (аОХ, aOY, aOZ)направлены в стороны, противоположные ортам (I,j,k)системы отсчёта OXYZ.

 

Рассмотрим более подробно движение точки на координатной оси ОХ (рис. 2.10) по заданному уравнению движения X = f(t).

Если проекция скорости V и проекция ускорения а точки совпадают по знаку, то точка движется ускоренно. При > 0 и >0 точка движется в сторону увеличения координаты Х ускоренно. Если < 0 и < 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х ускоренно. Если > 0 и < 0, то точка движется в сторону увеличения координаты замедленно. Если < 0 и > 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х замедленно.

Если проекция ускорения на ось ОХ постоянна ( = const), то такое движение называют равнопеременным. При условии, что = const ≠ 0, уравнение равнопеременного движения точки записывают в виде

X = X0 + 0·t + ( ·t2)/2,

где X0 – значение координаты точки в начальный момент времени; 0 - проекция начальной скорости V0 на координатную ось ОХ в начальный момент времени.

Если = const > 0, то такое движение называют равноускоренным.

Если = const < 0, то движение точки называют равнозамедленным.

Если = 0, то такое движение называют равномерным. Уравнение равномерного движения имеет вид X = X0 + ·t.

При условии, что = f(t) ≠ const, для получения уравнения движения выражение = f(t) необходимо дважды проинтегрировать.

Пусть, например, = 2·t. Представим это выражение в виде d /dt = 2·t. Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении d = 2·t·dt. Первый интеграл от этого выражения имеет вид = 2·(t2/2) + C1 = t2 + C1, где С1 – постоянная интегрирования, которую находят по начальным условиям движения. Пусть при t0 = 0 проекция начальной скорости V0 на ось ОХ не равна нулю: 0 ≠ 0. Тогда при t0 имеем 0 = (t0)2 + C1. Откуда С1 = 0. Внося значение постоянной С1 в выражение, полученное при первом интегрировании, имеем = t2 + 0. Так как = dX/dt, то после разделения переменных имеем следующее дифференциальное уравнение движения dX = t2·dt + 0·dt. Интегрируя это уравнение, получим X = t3/3 + 0·t + C2, где С2 – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям движения. Пусть при t0 = 0 координата Х0 ≠ 0. Тогда X0 = (t0)3/3 + 0·t0 + C2 или С2 = Х0. Окончательно имеем уравнение прямолинейного движения

X = (t)3/3 + 0·t + Xo.

Таким образом, если заданы уравнения движения точки в координатной форме, то можно в любой момент времени определить следующие кинематические характеристики:

1) траекторию движения;

2) положение точки на траектории движения;

3) проекции скорости на координатные оси, а, следовательно, и модуль скорости;

4) ориентацию вектора скорости в системе отсчёта по её направляющим косинусам;

5) проекции ускорения на координатные оси и модуль ускорения;

6) положение вектора ускорения в системе отсчёта по его направляющим косинусам.

Естественный способ задания

Движения точки

 

 

 
 

Естественный способ задания движения точки применяется в случае, когда траектория движения точки заранее известна. Траекторией могут быть как прямая, так и кривая линии (рис. 2.11).

 

На известной траектории движения точки выбирается неподвижная точка О, которую называют началом отсчёта дуговой координаты. Положение движущейся точки М на траектории определяется дуговой координатой, т. е. расстоянием ОМ = S, отложенным по траектории от начала отсчета О.

Прямую линию на рис. 2.11 можно считать дугой окружности, радиус которой равен бесконечности.

Расстояния, отложенные в одну сторону от точки О, условно считают положительным, а в противоположную сторону – отрицательным, т. е. устанавливается направление отсчета дуговой координаты. При движении точки М расстояние S от этой точки до неподвижной точки О изменяется с течением времени, т. е. дуговая координата S является функцией времени.

S = f(t).

Эту зависимость называют уравнением движения точки в естественных координатах.

Если вид функции S = f(t) известен, то для каждого значения времени ti можно найти значение дуговой координаты Si, отложить соответствующее расстояние по траектории от начала отсчета О и указать, где находится движущаяся точка М в этот момент времени.

Таким образом, движение точки определено, если известны следующие элементы: вид траектории движения точки (прямая линия, окружность, эллипс и т. д.); начало отсчёта (точка О) дуговой координаты; положительное и отрицательное (+, –) направления отсчёта дуговой координаты; уравнение движения S = f(t).

Дуговую координату точки не следует смешивать с длиной пути, пройденного точкой за время t.

Пример. Пусть уравнение движения точки имеет вид S = 10·sin(p·t) см. При начальном времени t0 = 0 начальная координата S0 = 0. При t1 = 0,5 c S(t1) = 10 см; при t2 = 1 c S(t2) = 0; при t3 = 1,5 c S(t3) = – 10 см; при t4 = 2 c S(t4) = 0.

Таким образом, за время t4 = 2 c точка М прошла путь, равный 40 см, а её дуговая координата S4 в этот момент времени равна нулю.

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!