Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Гипотезы о значениях генерального среднего и дисперсии



 

Рассмотрим нормальную генеральную совокупность параметр a которой требуется определить по выборочным данным. Например, задан требуемый номинальный размер деталей, вытачиваемых на данном станке. Отобрав из всей продукции выборку объема n, определить по ней, соответствует ли производимая продукция заданному требованию. В этом случае речь идет о проверке гипотезы о равенстве генерального среднего заданному значению . Для проверки этой гипотезы используются статистики, распределение которых известно (табл. 6.2). По выборке вычисляются оценки неизвестных параметров распределения:

Таблица 6.2

Гипотеза о генеральном среднем

 

Гипотеза
Предположения Генеральная совокупность нормальна; параметр известен Генеральная совокупность нормальна; параметр неизвестен
Оценки по выборке
Статистика K
Распределение статистики K Стандартное нормальное Распределение Стьюдента

 

Эти же статистики используются, если распределение генеральной совокупности неизвестно (для выборок объема используется статистика с нормальным распределением, для с распределением Стьюдента).

Пример 1. Техническая норма предусматривает в среднем 40 с на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работающих поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на эту операцию больше времени. Для проверки жалобы проведены хронометрические измерения времени её выполнения у 36 работниц, занятых на этой операции, и получено среднее время выполнения операции с. Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если известно, что среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности с?

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

— неизвестное генеральное среднее равно заданному значению (время выполнения технологической операции соответствует норме).

— время выполнения технологической операции больше установленной нормы.

По условию задачи уровень значимости т.е. событие, которое происходит с такой вероятностью, считаем практически невозможным.

Так как выборка большого объема и среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности известно, воспользуемся статистикой (табл. 6.2). Её наблюдаемое значение равно



Так как альтернативная гипотеза правосторонняя, то и критическая область — правосторонняя (рис. 6.1, а) и её границу следует искать по таблице функции Лапласа (приложение 1) из равенства Так как имеем и значение

Наблюдаемое значение т.е. попадает в критическую область, следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной. Уровень значимости характеризует надежность нашего утверждения: более чем с 99 % надежностью можно утверждать, что среднее время выполнения этой операции превышает норму. Следовательно, жалобы работниц обоснованы.

Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе граница критической области отрицательна (рис. 6.1, б). При двусторонней конкурирующей гипотезе (рис. 6.1, в) правую границу критической области находят по таблицам функции Лапласа (приложение 1) из равенства

К гипотезе о значении генеральной дисперсии мы приходим, если требуется проверить предположение о точности настройки станка или устройства. Для проверки основной гипотезы используется статистика, имеющая распределение «хи-квадрат» (табл. 6.3). Альтернативная гипотеза обычно выбирается правосторонней

Пример 2. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера деталей, которая не должна превышать По выборке из 25 случайно отобранных деталей рассчитаны оценки генерального среднего и генеральной дисперсии, при этом На уровне значимости 0.05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.

Таблица 6.3

Гипотеза о генеральной дисперсии

 

Гипотеза
Предположения Нормальная генеральная совокупность с известным параметром Нормальная генеральная совокупность с неизвестным параметром
Оценки по выборке
Статистика K
Распределение статистики K «хи-квадрат» «хи-квадрат»

Решение. Основная гипотеза — станок обеспечивает требуемую точность. Альтернативная гипотеза правосторонняя — точность не обеспечивается. Объем выборки уровень значимости Так как генеральное среднее неизвестно (оценивается по выборке), то будем использовать статистику Её наблюдаемое значение равно



Критическая область является правосторонней и ее границу определяем по таблице распределения «хи-квадрат» (приложение 2):

Наблюдаемое значение попадает в критическую область: поэтому основная гипотеза отвергается: станок не обеспечивает требуемой точности и требует наладки.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!