Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Арифметические операции в различных



Системах счисления

Цель работы: научить осуществлять арифметические действия в позиционных системах счисления.

 

Теоретические сведения

Сложение

Двоичные числа

Двоичные числа, как и десятичные, можно складывать в столбик, начиная с младшего разряда (без перехода к десятичной системе). При этом используют следующие правила:

+

Т.к. в двоичной системе счисления в записи чисел используются только 2 цифры – 0 и 1, значит при сложении 1 + 1 в младшем разряде записывается 0, а 1 переходит в старший разряд.

По аналогии с 10-сс: 9 + 1 (цифры десять нет в записи чисел), записывается 0 и 1 в старшем разряде, получается 10.

Примеры

1) Сложим в столбик 101102 и 1110112. Единицы сверху обозначают перенос из предыдущего разряда:

 

2) Выполнить сложение для следующих двоичных чисел:

3) Сложить числа:100000001002 + 1110000102 и выполнить проверку

100000001002 + 1110000102 = 101110001102.

 

Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.

 

100000001002 = 1 × 210 + 1 × 22 = 1024 + 4 = 102810

1110000102 = 1× 28 + 1× 27 + 1× 26 + 1 × 21 = 256 + 128 + 64 + 2 = 45010

101110001102 = 1 × 210 + 1 × 28 + 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 22 + 1 × 21 =

= 1024 + 256 + 128 + 64 + 4 + 2 =147810

102810 + 45010 =147810 .

 

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно.

 

Восьмеричные числа

Таблица сложения восьмеричных чисел

+

 

При вычислениях в восьмеричной системе нужно помнить, что максимальная цифра – это 7. Перенос при сложении возникает тогда, когда сумма в очередном разряде получается больше 7. Заем из старшего разряда равен 108 = 8, а все «промежуточные» разряды заполняются цифрой 7 – старшей цифрой системы счисления.



 

Пример

 

1) В примере запись 1⋅8 + 2 означает, что получилась сумма, большая 7, которая не помещается в один разряд. Единица идет в перенос, а двойка остается в этом разряде.

2) Выполнить сложение 223,28 + 427,548 и осуществить проверку полученного результата.

223,28 + 427,548 = 652,748.

 

Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления:

223,28 = 2 × 82 + 2 × 81 + 3 × 80 + 2 × 8-1= 128 + 16 + 3 + 0,25 =

=147,2510

427,548 = 4 × 82 + 2 × 81 + 7 × 80 + 5 × 8-1 + 4 × 8-2 =

= 256 + 16 + 7 + 0,625 + 0,0625= 279,687510

652,748 = 6 × 82 + 5 × 81 + 2 × 80 + 7 × 8-1 + 4 × 8-2=

= 384 + 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 426,937510

147,2510 + 279,687510=426,937510

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно.

 

Шестнадцатеричные числа

Таблица сложения шестнадцатеричных чисел

+ A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A B C D E F
A A B C D E F
B B C D E F 1A
C C D E F 1A 1B
D D E F 1A 1B 1C
E E F 1A 1B 1C 1D
F F 1A 1B 1C 1D 1E

 



При выполнении сложения нужно помнить, что в системе с основанием 16 перенос появляется тогда, когда сумма в очередном разряде превышает 15. Удобно сначала переписать исходные числа, заменив все буквы на их численные значения.

Примеры

1)

 

2) Выполнить сложение 3B3,616 + 38B,416 и осуществить проверку

 

3B3,616 + 38B,416 = 73E,A16 .

 

Выполним проверку:

3B3,616 = 3 × 162 + 11 × 161 + 3 × 160 + 6 × 16-1 = 768 + 176 +

+ 3 + 0,375 = 947,37510

38B,416 = 3 × 162 + 8 × 161 + 11 × 160 + 4 × 16-1 = 768 + 128 +

+ 11 + 0,25 = 907,2510

73E,A16 = 7 × 82 + 3 × 81 + 14 × 80 + 10 × 8-1 = = 1792 + 48 + 14 + 0,625 = 1854,62510

947,37510 + 907,2510 = 1854,62510 .

 

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно.

 

Вычитание

Двоичные числа

Вычитание выполняется почти так же, как и в десятичной системе. Вот основные правила:

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 102 – 1 = 1.

В последнем случае приходится брать заем из предыдущего разряда.

Вычитание производится по аналогии с десятичной системой счисления.

Чтобы понять принцип, временно вернемся к десятичной системе. Вычтем в столбик из числа 21 число 9:

.

Поскольку из 1 нельзя вычесть 9, нужно взять заем из предыдущего разряда, в котором стоит 2. В результате к младшему разряду добавляется 10, а в следующем 2 уменьшается до 1. Теперь можно выполнить вычитание: 1 + 10 – 9 = 2. В старшем разряде вычитаем из оставшейся единицы ноль:

Более сложный случай – заем из дальнего (не ближайшего) разряда. Вычтем 9 из 2001. В этом случае занять из ближайшего разряда не удается (там 0), поэтому берем заем из того разряда, где стоит цифра 2. Все промежуточные разряды в результате заполняются цифрой 9, это старшая цифра десятичной системы счисления:

.

В двоичной системе счисления, когда берется заем, в «рабочий» разряд добавляется уже не 10, а 102 = 2 (основание системы счисления), а все «промежуточные» разряды (между «рабочим» и тем, откуда берется заем) заполняются не девятками, а единицами (старшей цифрой системы счисления).

Примеры

1)

 

Если требуется вычесть большее число из меньшего, вычитают меньшее из большего и ставят у результата знак «минус»:

2)

 

3) 4)

 

Восьмеричные числа

1)

 

При вычитании «– 1» означает, что из этого разряда раньше был заем (его значение уменьшилось на 1), а «+ 8» – заем из следующего разряда.

 

2) Вычитание

165,34

- 27,56

135,56

 

Шестнадцатеричные числа

При вычитании заем из старшего разряда равен 1016 = 16, а все «промежуточные» разряды заполняются цифрой F – старшей цифрой системы счисления.

Например,

1)

 

2)

 

 

Умножение

Двоичные числа

х

 

Умножение и деление столбиком в двоичной системе выполняются практически так же, как и в десятичной системе (но с использованием правил двоичного сложения и вычитания).

Например,

1) 2)

 

 

Восьмеричные числа

Восьмеричная таблица умножения

´

 

С помощью восьмеричной таблицы умножения пользуясь теми же правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, производятся умножение и деление восьмеричных многоразрядных чисел.

Пример

Шестнадцатеричные числа

Таблица умножения

´ A B C D E F
A B C D E F
A C E 1A 1C 1E
C F 1B 1E 2A 2D
C 1C 2C 3C
A F 1E 2D 3C 4B
C 1E 2A 3C 4E 5A
E 1C 2A 3F 4D 5B
1B 2D 3F 5A 6C 7E
A A 1E 3C 5A 6E 8C
B B 2C 4D 6E 8F 9A A5
C C 3C 6C 9C A8 B4
D D 1A 4E 5B 8F 9C A9 B6 C3
E E 1C 2A 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2
F F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1

Пример

 

Деление

Двоичные числа

Деление двоичных чисел выполняется по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления (но с использованием правил двоичного сложения и вычитания).

 

 

Примеры

1) 2)

 

 

3)

 

 

 

Восьмеричные числа

1) 2)

 

 

Шестнадцатеричные числа

 

Практические примеры

 

Пример 1

Дано: и . Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a < c < b?

Для этого необходимо перевести все числа (и исходные данные, и ответы) в одну систему счисления и сравнить.

Решение (через десятичную систему):

1)

2)

3) переводим в десятичную систему все ответы:

110110012 = 217, 11011100 2= 220,

110101112 = 215, 110110002=216

4) очевидно, что между числами 215 и 217 может быть только 216

Пример 2

Чему равна сумма чисел и ?

Для решения необходимо перевести оба исходных числа и ответы в одну систему счисления и выполнить сложение.

Решение ( через десятичную систему):

сложение: 35 + 86 = 121,

переводим результат во все системы, в которых даны ответы (пока не найдем нужный):

 

121 = 11110012 = 1718 = 7916

или переводим все ответы в десятичную систему

1218 = 81, 1718 = 121, 6916 = 105, 10000012 = 65

Решение (через двоичную систему):

1) (каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду, старшие нули можно не писать) ;

2) (каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду);

3) складываем

1000112

+ 10101102 ;

11110012

4) переводим все ответы в двоичную систему

1218 = 001 010 0012 = 10100012 (по триадам)

1718 = 001 111 0012 = 11110012 (по триадам)

6916 = 0110 10012 = 11010012 (по тетрадам)

10000012 не нужно переводить.

Решение (через восьмеричную систему):

1) , переводить не нужно;

2) (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);

3) Складываем

 

438

+ 1268 .

1718

 

 

Решение ( через шестнадцатеричную систему):

1) (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);

2) , никуда переводить не нужно;

3) складываем

2316

+ 5616 ;

7916

4) переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:

1218 = 001 010 0012 = 0101 00012 = 5116 (перевели в двоичную систему по триадам, разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили на буквы – A, B, C, D, E, F).

 

171 2 = 001 111 0012 = 0111 10012 = 7916,

6916, переводить не нужно

10000012 = 0100 00012 = 4116 .


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!