Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






От случайности к необратимости



Рассмотрим последовательность квадратов, на которые действует «преобразование пекаря». Эта последо­вательность изображена на рис. 39. Представим себе, что заштрихованные области заполнены чернилами, а незаштрихованные — водой. При t=0 мы имеем так называемое производящее разбиение квадрата. При­няв его за исходное, мы построим серию разбиений либо на горизонтальные полосы, если отправимся в бу­дущее, либо на вертикальные полосы, если начнем дви­гаться в прошлое. В обоих случаях мы получим базис­ные разбиения. Произвольное распределение чернил по квадрату формально представимо в виде суперпози­ции базисных разбиений. Каждому базисному распре­делению можно поставить в соответствие внутреннее время, равное просто числу «преобразований пекаря», которые необходимо проделать, чтобы перейти от про-


Рис. 39. Начав с «производящего разбиения» (см. текст) в мо­мент времени 0 и многократно повторив «преобразование пекаря», мы получили горизонтальные полосы. Двигаясь в прошлое, мы по­лучили бы вертикальные полосы.

изводящего распределения к данному12. Следовательно, системы такого типа допускают своего рода внутрен­ний возраст*.

Внутреннее время Т сильно отличается от обычного механического времени, поскольку зависит от глобальной топологии системы. Можно даже говорить об «овременивании» пространства, тем самым вплотную при­ближаясь к идеям, недавно выдвинутым географами, которые ввели понятие хроногеографии13. Взглянув на «структуру города или ландшафта, мы видим времен­ные элементы как взаимосвязанные и сосуществующие. Бразилиа или Помпеи** вполне соответствовали бы оп­ределенному внутреннему возрасту, в какой-то мере аналогичному одному из базисных разбиений в «пре­образовании пекаря». Наоборот, современный Рим с его зданиями, построенными в самые различные перио­ды, соответствовал бы среднему времени точно так же, как произвольное разбиение разложимо на элементы,

отвечающие различным внутренним временам.

Посмотрим еще раз на рис. 39. Что произойдет, ес­ли мы продвинемся далеко в будущее? Зазоры между горизонтальными чернильными полосами будут стано­виться все уже и уже. Какова бы ни была точность



* Нетрудно видеть, что это внутреннее время, которое мы обозначим через Т, в действительности представляет собой опера­тор, аналогичный операторам, введенным в квантовой механике (см. гл 7). Действительно, произвольное разбиение квадрата обладает не однозначно определенным, а лишь «средним» временем, соответствующим суперпозиции базисных разбиений, из которых оно состоит.

** Бразилиа — город построенный в короткий срок по проекту Нимейера. Помпеи — город, переставший существовать в результате извержения Везувия. В первом случае город не имеет прошлого, во втором — будущего. — Прим. перев.


наших измерений, спустя некоторое время она будет превзойдена, и мы заключим, что чернила равномерно распределены по всему объему. Неудивительно поэто­му, что такого рода приближение к «равновесию» мож­но описать с помощью стохастических процессов типа цепей Маркова, о которых мы упоминали в гл. 8. Не­давно это утверждение было доказано со всей матема­тической строгостью14, но сам по себе результат пред­ставляется вполне естественным. Со временем чернила равномерно распределяются по объему так же, как ша­ры в модели Эренфестов равномерно распределялись по урнам (см. гл. 8). Но если мы заглянем в прошлое, снова начав с производящего разбиения при t=0, то увидим то же самое явление. Чернила будут распреде­ляться вертикальными полосами, и снова, углубив­шись в прошлое достаточно далеко, мы обнаружим равномерное распределение чернил по объему. Это по­зволяет нам сделать вывод о том, что и этот процесс допускает описание с помощью цепи Маркова, но на­правленной в прошлое. Таким образом, из неустойчи­вых динамических процессов мы получаем две цепи Маркова: одну, стремящуюся к равновесию в будущем, другую — в прошлом. Мы считаем, что этот результат весьма интересен, и хотели бы его прокомментировать. Внутреннее время дает нам новое, «нелокальное» описание.



Хотя «возраст» системы (т. е. соответствующее раз­биение) нам известен, мы тем не менее не можем сопо­ставить ему однозначно определенную локальную тра­екторию. Мы знаем лишь, что система находится где-то в заштрихованной части квадрата (см. рис. 39). Анало­гичным образом, если известны точные начальные ус­ловия, соответствующие какой-то точке системы, то мы не знаем ни разбиения, которому она принадлежит, ни возраста системы. Следовательно, для таких систем существуют два взаимодополнительных описания. Си­туация здесь несколько напоминает ту, с которой мы уже встречались в гл. 7 при рассмотрении квантовой механики.

Существование новой альтернативы — нелокального описания — открывает перед нами путь к переходу от динамики к вероятностям. Системы, для которых такой переход возможен, мы называем внутренне случайными системами.


В классических детерминистических системах мы можем говорить о вероятностях перехода из одной точ­ки в другую лишь в весьма вырожденном смысле: вероятность перехода равна единице, если две точки ле­жат на одной динамической траектории, и нулю, если они не лежат на одной траектории.

В настоящей вероятностной теории нам понадобятся вероятности, принимающие, к отличие от вероятностей типа «нуль—единица», любые значения от пуля до единицы. Как такое возможно? Здесь перед нами во весь рост встает конфликт между субъективистскими взглядами на вероятность и ее объективными интер­претациями. Субъективная интерпретация соответствует случаю, когда отдельные траектории неизвестны. Вероятность (и в конечном счете связанная с ней необ­ратимость) при таком подходе имеет своим истоком наше незнание. К счастью, существует другая, объек­тивная интерпретация: вероятность возникает в резуль­тате альтернативного описания динамики, нелокального описания, возможного лишь для сильно неустойчи­вых динамических систем.



При таком подходе вероятность становится объек­тивным свойством, порождаемым, так сказать, внутри динамики и отражающим фундаментальную структуру динамической системы. Мы уже подчеркивали важ­ность основного открытия Больцмана — установления связи между энтропией и вероятностью. Для внутрен­не случайных систем понятие вероятности обретает ди­намический смысл. Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к необрати­мым системам. Как мы уже знаем, неустойчивые дина­мические процессы порождают по две цепи Маркова.

Взглянем на эту двойственность с другой точки зрения. Рассмотрим распределение, сосредоточенное не на всей поверхности квадрата, а на отрезке прямой. Отрезок может быть вертикальным или горизонталь­ным. Выясним, что произойдет с этим отрезком под действием «преобразований пекаря», обращенных в бу­дущее. Результат их показан на рис. 40: вертикальный отрезок рассекается на части и в далеком будущем стягивается в точку. Наоборот, горизонтальный отрезок при каждом «преобразовании пекаря» удваивается, и в далеком будущем его образы («копии») равномерно покроют весь квадрат. Ясно, что при движении вспять


Рис. 40. Сжатие и растяжение слоев при «преобразовании пе­каря». Со временем сжимающийся слой А1 сокращается (последова­тельные этапы сокращения обозначены А1, В1, C1). Растягивающиеся слои удваиваются (последовательные этапы удвоения обозначены А2, В2, С2).

во времени (в прошлое) наблюдается обратная карти­на. По очевидным причинам вертикальный отрезок на­зывается сжимающимся, а горизонтальный — растягивающимся слоем.

Мы видим, что аналогия с теорией бифуркаций полная. Сжимающийся слой и растягивающийся слой соответствуют двум реализациям динамики, каждая из которых связана с нарушением симметрии и появлени­ем несимметричных режимов парами. Сжимающийся слой отвечает равновесному состоянию в далеком буду­щем, растягивающийся — в далеком прошлом. Мы по­лучаем, таким образом, две цепи Маркова с противо­положной ориентацией во времени.

Теперь нам необходимо совершить переход от внут­ренне случайных систем к системам внутренне необра­тимым. Для этого нам необходимо понять, чем, собст­венно, отличается сжимающийся слой от растягиваю­щегося. Нам известна еще одна система, столь же не­устойчивая, как и «преобразование пекаря», — систе­ма, описывающая рассеяние твердых шаров. Для этой системы растягивающиеся и сжимающиеся слои име­ют простой физический смысл. Сжимающийся слой со­ответствует множеству твердых шаров, скорости кото­рых случайным образом распределены в далеком прош-


лом и становятся параллельными в далеком будущем. Растягивающийся слой соответствует обратной ситуа­ции: скорости сначала параллельны, а затем их распре­деление становится случайным. Различие между сжи­мающимися и растягивающимися слоями очень напо­минает различие между расходящимися и сходящими­ся волнами в примере Поппера. Исключение сжимаю­щихся слоев соответствует экспериментально установленному факту: как бы ни изощрял свое хитроумие экс­периментатор, ему никогда не удастся добиться, чтобы скорости в системе оставались параллельными после произвольного числа столкновений. Исключая сжима­ющиеся слои, мы оставляем тем самым лишь одну из двух введенных нами цепей Маркова. Иначе говоря, второе начало становится принципом отбора началь­ных условий. Оно допускает лишь такие начальные условия, при которых система эволюционирует к равно­весному состоянию в будущем.

Правильность такого принципа отбора подтвержда­ется динамикой. Нетрудно видеть, что в примере с «преобразованием пекаря» сжимающийся слой навсег­да остается сжимающимся, а растягивающийся — рас­тягивающимся. Подавляя одну из двух цепей Маркова, мы переходим от внутренне случайной к внутренне не­обратимой системе. В описании необратимости мы выде­ляем три основных элемента:

неустойчивость

внутренняя случайность

внутренняя необратимость

Самым сильным из них является внутренняя необрати­мость: случайность и неустойчивость следуют из не­го14,15.

Каким образом подобный вывод можно совместить с динамикой? Как известно, в динамике «информация» сохраняется, в то время как цепи Маркова, забывая пре­дысторию, утрачивают информацию (вследствие чего энтропия возрастает; см. гл. 8). Никакого противоречия здесь нет: когда от динамического описания «преобра­зования пекаря» мы переходим к термодинамическому описанию, нам приходится изменять функцию распреде­ления. Связано это с тем, что «объекты», в терминах которых энтропия возрастает, отличаются от объектов,


рассматриваемых в динамике. Новая функция распре­деления r соответствует внутренне ориентированному во времени описанию динамической системы. Мы не можем останавливаться на математических аспектах перехода от старой функции распределения к новой. Скажем лишь, что преобразование, переводящее одну функцию распределения в другую, должно быть нека­ноническим (см. гл. 2). Следовательно, прийти к термо­динамическому описанию мы можем лишь ценой отказа от обычных понятий динамики.

Примечательно, что такое преобразование существу­ет, в результате чего оказывается возможным объеди­нить динамику и термодинамику, физику бытия и физи­ку становления. Позднее в этой главе и в заключитель­ном разделе книги мы еще вернемся к новым термоди­намическим объектам. Подчеркнем лишь, что в состоянии равновесия всякий раз, когда энтропия достигает своего максимума, эти объекты должны вести себя случайным образом.

Заслуживает внимания и то, что необратимость воз­никает, так сказать, из неустойчивости, наделяющей на­ше описание неустранимыми статистическими особенно­стями. Действительно, что означала бы стрела времени в детерминистическом мире, в котором и прошлое и бу­дущее содержатся в настоящем? Стрела времени ассо­циируется с переходом из настоящего в будущее имен­но потому, что будущее не содержится в настоящем и мы совершаем переход из настоящего в будущее. Построение необратимости на основе случайности чре­вато многими последствиями, выходящими за рамки собственно естествознания. Этих последствий мы кос­немся в заключительном разделе нашей книги, а теперь кратко поясним, в чем заключается различие между со­стояниями, разрешенными вторым началом, и состоя­ниями, которые второе начало запрещает.

Энтропийный барьер

Время течет в одном направлении: из прошлого в бу­дущее. Мы не можем манипулировать со временем, за­ставить его идти вспять, в прошлое. Путешествие во времени занимало воображения многих писателей: от безымянных создателей «Тысячи и одной ночи» до Гер­берта Уэллса с его «Машиной времени». В небольшом


произведении В. Набокова «Посмотри на арлекинов!»16 описываются муки рассказчика, которому не удается переключиться с одного направления времени на другое, чтобы «повернуть время вспять». В пятом томе своего капитального труда «Наука и цивилизация в Китае» Джозеф Нидэм описывает мечту китайским алхимиков: «свою высшую цель те видели не в превращении метал­лов в золото, а в манипулировании временем, достиже­нии бессмертия путем резкого замедления всех процес­сов распада в природе17. Теперь мы лучше понимаем, почему время невозможно «повернуть назад».

Бесконечно высокий энтропийный барьер отделяет разрешенные начальные состояния от запрещенных. Барьер этот никогда не будет преодолен техническим прогрессом: он бесконечно высок. Нам не остается ни­чего другого, как расстаться с мечтой о машине време­ни, которая перенесет нас в прошлое. Энтропийный барьер несколько напоминает другой барьер: существо­вание предельной скорости распространения сигналов скорости света. Технический прогресс может приблизить нас к скорости света, но, согласно современным физи­ческим представлениям, мы никогда не сможем превзой­ти ее.

Для того чтобы понять происхождение энтропийного барьера, нам потребуется вернуться к выражению для H-функции, возникающему в теории цепей Маркова (см. гл. 8). Сопоставим с каждым распределением чис­ла соответствующее значениеH-функции. Можно ут­верждать, что каждое распределение обладает вполне определенным информационным содержанием. Чем вы­ше информационное содержание, тем труднее реализо­вать его носитель. Покажем, что начальное распреде­ление, запрещенное вторым началом, обладало бы бес­конечно большим информационным содержанием. Имен­но поэтому такие запрещенные распределения невоз­можно ни реализовать, ни встретить в природе.

Напомним сначала, какой смысл имеет введенная в гл. 8 H-функция. Разделим фазовое пространство на клетки, или ячейки. С каждой ячейкой k сопоставим ве­роятность Рравн(k) попасть в нее в равновесном состоя­нии и вероятность Р(k,t)оказаться в ней в неравновес­ном состоянии.

H -функция есть мера различия между P(k,t) иРравн(k) . В состоянии равновесия, когда различие


Рис. 41. Растягивающиеся (последовательность А) и сжимаю­щиеся (последовательность С) слои пересекают различное число кле­ток («ящиков»), на которые разделено фазовое пространство «преоб­разования пекаря». Все «квадраты», принадлежащие данной последо­вательности, относятся к одному моменту времени t=2, но число кле­ток, на которые разделен каждый квадрат, зависит от начала отсчета времени системы ti.

между вероятностями исчезает, H -функция обращается в нуль. Чтобы сравнить его с «преобразованием пекаря» и двумя порождаемыми им цепями Маркова, необходи­мо уточнить, как выбираются соответствующие ячейки. Предположим, что мы рассматриваем систему в момент времени 2 (см. рис. 39) и что в исходном состоянии система находилась в момент времени ti. Согласно на­шей динамической теории, клетки соответствуют всем возможным пересечениям разбиений от t=ti до t=2.На рис. 39 мы видим, что, когда ti отходит в прошлое,


ячейки становятся все более тонкими, поскольку нам приходится вводить все больше и больше вертикальных подразделений. Это отчетливо видно на рис. 41, где-в последовательности В мы получаем при движении сверху вниз ti-=1, 0, —1 и, наконец, ti=—2. Нетрудно видеть, что число ячеек возрастает при этом с 4 до 32.

Коль скоро мы располагаем ячейками, естественно сравнить неравновесное распределение с равновесным в каждой ячейке. В рассматриваемом нами примере неравновесное распределение есть либо растягивающийся слой (последовательностьА), либо сжимающий­ся слой (последовательность С). Обратим внимание на то, что по мере сдвига ti в прошлое растягивающийся слой занимает все большее число ячеек: при ti=—1 он занимает 4 ячейки, при ti=—2 — уже 8 ячеек и т. д. В результате, воспользовавшись формулой из гл. 8, мы получаем конечный «ответ», даже если число ячеек неограниченно возрастает при ti®¥.

Сжимающийся слой в отличие от растягивающегося при любых ti всегда локализован в 4 ячейках. Это при­водит к тому, что H-функция для сжимающегося слоя обращается в бесконечность, когда ti уходит в прош­лое. Таким образом, различие между динамической си­стемой и цепью Маркова состоит в том, что в случае динамической системы необходимо рассматривать бес­конечно много ячеек. Приготовить или наблюдать мож­но лишь такие меры или вероятности, которые в преде­ле при бесконечно большом числе ячеек дают конечную информацию или конечную H-функцию. Это исключает сжимающиеся слои18. По той же причине необходимо исключить и распределения, сосредоточенные в одной точке. Начальные условия, соответствующие одной точ­ке в неустойчивой системе, соответствовали бы беско­нечной информации. Следовательно, ни реализовать, ни наблюдать их невозможно. И в этом случае второе нача­ло выступает в роли принципа отбора.

В классической схеме начальные условия были про­извольными. Для неустойчивых систем произвол исклю­чается. Каждое начальное условие обладает в случае неустойчивых систем определенным информационным содержанием, которое зависит от динамики системы (подобно тому как в «преобразовании пекаря» для вы­числения информационного содержания мы прибегли к последовательному делению ячеек). Начальные усло-


вия и динамика перестают быть независимыми. Второе начало как принцип отбора представляется нам настоль­ко важным, что мы хотели бы привести еще один при­мер, на этот раз связанный с динамикой корреляций.

Динамика корреляций

В гл. 8 мы кратко обсудили эксперимент с обраще­нием скоростей. Возьмем разреженный газ и проследим за его эволюцией во времени. При t=t0 обратим скорости всех молекул газа. Газ вернется в начальное состоя­

Рис. 42. Рассеяние частиц. Первоначально скорости всех частиц равны. После соударения равенство скоростей нарушается и рас­сеянные частицы коррелированы с рассеятелем (корреляции здесь и далее изображены волнистыми линиями).

ние. Мы уже обращали внимание на то, что для воспро­изведения своего прошлого газу необходимо некое хра­нилище информации — своего рода «память». Такой па­мятью являются корреляции между частицами19.

Рассмотрим сначала облако частиц, движущихся к мишени (тяжелой неподвижной частице). Схематиче­ски ситуация изображена на рис. 42. В далеком прош­лом корреляций между частицами не было. Рассеяние приводит к двум эффектам (см. гл. 8): оно «разбрасы­вает» частицы (делает распределение скоростей более симметричным) и, кроме того, порождает корреляции между рассеянными частицами и рассеивателем. Корре­ляции станут заметными, если обратить скорости (на­пример, с помощью сферического зеркала). Эта ситуа­ция изображена на рис. 43 (волнистыми линиями ус­ловно показаны корреляции). Таким образом, роль рас-


сеяния сводится к следующему. При прямом рассеянии распределение скоростей становится более симметрич­ным и возникают корреляции между частицами. При обратном рассеянии распределение скоростей становится менее симметричным, а корреляции исчезают. Таким образом, учет корреляций приводит к основному раз­личию между прямым и обратным рассеянием.

Аналогичные рассуждения применимы и к системе многих тел. Здесь также возможны ситуации двух ти­-

Рис. 43. Влияние обращения скоростей после соударения: после нового «обращенного» соударения корреляции подавлены и скоро­сти всех частиц равны.

пов. В одном случае (прямой процесс) некоррелирован­ные частицы налетают, рассеиваются и порождают кор­релированные частицы (рис. 44). В другом случае (об­ратный процесс) коррелированные частицы налетают, корреляции при столкновениях нарушаются и после-столкновении частицы уже не коррелированы (рис. 45).

Прямой и обратный процессы отличаются последо­вательностью столкновений и корреляций во времени. В первом случае имеют место корреляции послестолкновительиыс («постстолкновительные»). Имея в виду раз­личие между пред- и послестолкновительными корреля­циями, вернемся к эксперименту с обращением скоро­стей. Начнем при t=0с начального состояния, соот­ветствующего корреляциям между частицами. В интер­вале времени от t=0 до t=t0 система эволюционирует «нормально»: в результате столкновений распределение скоростей приближается к распределению Максвелла. Кроме того, столкновения порождают послестолкновительные корреляции между частицами. При t=t0 проис­ходит обращение скоростей и возникает качественно но­вая ситуация. Послестолкновительные корреляции ста-


новятся предстолкновительными. В интервале времени от t=t0 до t=2t0 эти предстолкновительные корреляции исчезают, распределение скоростей становится менее симметричным, и к моменту времени t=2t0 полностью

восстанавливается некоррелированное состояние. Таким образом, история системы делится на два этапа. На первом этапе столкновения трансформируются в корре-

Рис. 44. Возникновение корреляций после соударения (корреляции условно изображены волнистыми линиями).

Рис. 45. Разрушение предстолкновительных корреляций (волнистые линии) при столкновениях.

ляции, на втором этапе происходит обратное превраще­ние корреляций в столкновения. Оба типа процессов — прямой и обратный — не противоречат законам дина­мики. Кроме того, как мы уже упоминали в гл. 8, полная «информация», описываемая динамикой, остается постоянной. Мы видели также, что в больцмановском описании эволюция от t=0 до t=t0 соответствует обычному убыванию H-функции, а в интервале от t=t0 до t=2t0 эволюция протекала бы аномально: H-функция возрастала бы, а энтропия убывала. Но это означало бы, что можно придумать эксперименты, как лаборатор­ные, так и численные, в которых нарушалось бы второе начало! Необратимость на интервале [0, t0] компенси­ровалась бы «антинеобратимостью» на интервале [t0, 2t0 ].


Такое положение нельзя признать удовлетворитель­ным. Все трудности устраняются, если перейти к новому «термодинамическому представлению», в рамках которо­го динамика, как в «преобразовании пекаря», становит­ся вероятностным процессом, аналогичным цепи Марко­ва. Следует также учесть, что обращение — процесс не

Рис. 46. Временная эволюция H-функции в эксперименте с об­ращением скоростей. В момент времени t0 происходит обращение скоростей — H-функция претерпевает разрыв. В момент времени 2t0 система находится в таком же состоянии, как в момент времени 0, — H-функцця возвращается к своему начальному значению. При всех t, за исключением t=t0, H-функция убывает. Важно подчеркнуть, что при t=t0, H-функция принимает два различных значения.

«естественный». Для обращения скоростей к молекулам извне должна поступить «информация». Для того чтобы обратить скорости, необходимо существо, аналогич­ное демону Максвелла, а за демона Максвелла прихо­дится «платить». Изобразим зависимость H-функции от времени (для какого-нибудь вероятностного процесса). Типичный график такой зависимости представлен на рис. 46. При нашем подходе (в отличие от больцмановского) эффект корреляций при переопределении H-функции сохраняется. Следовательно, в точке обращения скоростей t0 функция H должна претерпевать скачок,


поскольку мы внезапно создаем в этой точке аномаль­ные предстолкновительные корреляции, которые должны нарушиться позднее. Скачок H-функции соответствует энтропии, или информационной цене, которую нам при­ходится платить.

Итак, мы получаем адекватное представление вто­рого начала: в любой момент времени H-функция убы­вает (энтропия возрастает). Единственным исключением является точка t0: H-функция претерпевает в ней скачок в тот самый момент, когда система открыта. Лишь воз­действуя на систему извне, можно «обратить» скоро­сти.

Нельзя не отметить еще одно важное обстоятельство: при t=t0 новая H-функция принимает два различных значения, одно — для системы до обращения скоростей, другое — для системы после обращения скоростей. Энт­ропия системы до обращения и после обращения скоро­стей различна. Это напоминает ситуацию, происходя­щую при «преобразовании пекаря», когда сжимающий­ся и растягивающийся слои — скорости, переходящие друг в друга при обращении.

Предположим, что, прежде чем производить обраще­ние скоростей, мы достаточно долго выжидаем. В этом случае послестолкновительные корреляции имели бы произвольный радиус и энтропийная цена за обращение скоростей была бы непомерно велика. А поскольку об­ращение скоростей стало бы нам «не по карману», его исключили бы. На физическом языке это означает, что второе начало запрещает устойчивые предстолкнови­тельные корреляции на больших расстояниях.

Поразительна аналогия с макроскопическим описа­нием второго начала. Тепло и механическая энергия эк­вивалентны с точки зрения сохранения энергии (см. гл. 4 и 5), но отнюдь не второго начала. Кратко говоря, механическая энергия более «высокого сорта» (более когерентна), чем тепло, и всегда может быть превраще­на в тепло. Обратное неверно. Аналогичное различие существует на микроскопическом уровне между столк­новениями и корреляциями. С точки зрения динамики столкновения и корреляции эквивалентны. Столкнове­ния порождают корреляции, а корреляции могут разру­шать последствия столкновений. Но между столкнове­ниями и корреляциями имеется существенное различие. Мы можем управлять столкновениями и порождать


корреляции, но мы не в состоянии так управлять корреляциями, чтобы уничтожить последствия, вызванные столкновениями в системе. Этого существенного разли­чия недостает в динамике, но его можно учесть в тер­модинамике. Следует заметить, что термодинамика нигде не вступает в конфликт с динамикой. Термодина­мика вносит важный дополнительный элемент в наше понимание физического мира.

Энтропия как принцип отбора

Нельзя не удивляться тому, как сильно микроскопи­ческая теория необратимых процессов напоминает тра­диционную макроскопическую теорию. И в той, и в дру­гой теории энтропия имеет негативный аспект. В мак­роскопической теории энтропия запрещает некоторые процессы, например перетекание тепла от холодного предмета к теплому. В микроскопической теории энтро­пия запрещает некоторые классы начальных условий. Различие между тем, что запрещено, и тем, что разре­шено, поддерживается во времени законами динамики. Из негативного аспекта возникает позитивный: сущест­вование энтропии вместе с ее вероятностной интерпре­тацией. Необратимость не возникает более, как чудо, на некотором макроскопическом уровне. Макроскопическая необратимость лишь делает зримой ориентированную во времени поляризованную природу того мира, в котором мы живем.

Как мы уже неоднократно подчеркивали, в природе существуют системы с обратимым поведением, допус­кающие полное описание в рамках законов классической или квантовой механики. Но большинство интересую­щих нас систем, в том числе все химические и, следова­тельно, все биологические системы, ориентировано во времени на макроскопическом уровне. Их отнюдь не иллюзорная однонаправленность во времени отражает нарушение временной симметрии на микроскопическом уровне. Необратимость существует либо на всех уров­нях, либо не существует ни на одном уровне. Она не может возникнуть, словно чудо, при переходе с одного уровня на другой.

Мы также неоднократно отмечали, что необрати­мость является исходным пунктом других нарушений


симметрии. Например, по общему мнению, различие между частицами и античастицами могло возникнуть только в неравновесном мире. Это утверждение может быть распространено на многие другие ситуации. Впол­не вероятно, что с необратимостью через отбор подхо­дящей бифуркации связана и киральная симметрия. Многие из активно проводимых ныне исследований по­священы выяснению того, каким образом необратимость можно «вписать» в структуру материи.

Возможно, читатель обратил внимание на то, что при выводе микроскопической необратимости основной ак­цент мы делали на классической динамике. Но представ­ления о корреляциях и различии между пред- и послестолкновительными корреляциями применимы не только к классическим, но и к квантовым системам. Исследова­ние квантовых систем более сложно, чем исследование классических, что обусловлено различием между клас­сической и квантовой механикой. Даже малые класси­ческие системы, например система, состоящая из не­скольких твердых шаров, могут обладать внутренней необратимостью. Но для того чтобы достичь внутрен­ней необратимости в квантовой механике, необходимы большие системы (со многими степенями свободы), ко­торые встречаются в жидкости, газах или теории поля. Ясно, что исследование больших систем сопряжено со значительно большими математическими трудностями. Именно это не позволяет нам рассказать здесь о них подробнее. Тем не менее общая ситуация, с которой мы познакомились на примерах классических систем, сохра­няется и в квантовой теории: необратимость там возни­кает вследствие ограниченной применимости понятия волновой функции, обусловленной той или иной разно­видностью квантовой неустойчивости.

Применима в квантовой механике и идея о столкнове­ниях и корреляциях. Как и в классической теории, вто­рое начало запрещает существование в квантовой тео­рии дальнодействующих предстолкновительных корре­ляций.

Переход к вероятностному процессу сопровождается введением новых сущностей. Второе начало как эволю­ция от порядка к хаосу может быть понято именно в терминах этих новых понятий. Второе начало приво­дит к новой концепции материи, к описанию которой мы сейчас переходим.


Активная материя

Связав энтропию с динамической системой, мы тем самым возвращаемся к концепции Больцмана: вероят­ность достигает максимума в состоянии равновесия. Структурные единицы, которые мы используем при опи­сании термодинамической эволюции, в состоянии равно­весия ведут себя хаотически. В отличие от этого в слабо неравновесных условиях возникают корреляции и коге­рентность.

Здесь мы подходим к одному из наших главных вы­водов: на всех уровнях, будь то уровень макроскопи­ческой физики, уровень флуктуаций или микроскопиче­ский уровень, источником порядка является неравновесность. Неравновесность есть то, что порождает «поря­док из хаоса». Но, как мы уже упоминали, понятие порядка (или беспорядка) сложнее, чем можно было бы думать. Лишь в предельных случаях, например в разреженных газах, оно обретает простой смысл в со­ответствии с пионерскими трудами Больцмана.

Сравним еще раз динамическое описание физическо­го мира с помощью сил и полей и термодинамическое описание. Как уже упоминалось, нетрудно составить программы численных экспериментов, в которых взаимо­действующие частицы, первоначально распределенные случайным образом, в некоторый момент времени рас­полагаются в узлах правильной решетки. Динамическая интерпретация этого явления гласит: возникновение порядка обусловлено игрой сил взаимодействия между частицами. Термодинамическая интерпретация утверж­дает иное: наблюдается общая тенденция к установле­нию хаоса (система изолирована), но хаоса, проявляю­щегося в совершенно других структурных единицах (в рассматриваемой модели это — коллективные моды, охватывающие большое число частиц). В этой связи, по-видимому, уместно напомнить неологизм, введенный нами в гл. 6 для обозначения новых структурных еди­ниц, которые ведут себя некогерентно, несогласованно в состоянии равновесия системы; мы назвали их «гипнонами», или «сомнамбулами», поскольку в состоянии равновесия они движутся как во сне, «не замечая» друг друга. Каждый из гипнонов может обладать сколь угод­но сложной структурой (достаточно вспомнить о том, на­сколько сложны молекулы ферментов), но в состоянии


равновесия их сложность обращена «внутрь» и никак не проявляется «снаружи». Например, внутри молекулы существует интенсивное электрическое поле, но в раз­реженном газе этим полем можно пренебречь: оно ни­как не сказывается на поведении других молекул.

Одним из главных предметов исследования в совре­менной физике является проблема элементарных частиц. Известно, что элементарные частицы далеко не элемен­тарны. По мере того как мы поднимаемся по шкале энергий, перед нами открываются все новые и новые «слои» в структуре элементарных частиц. Но что такое элементарная частица? Можно ли считать, например, что планета Земля — элементарная частица? Разумеет­ся, нельзя, потому что часть энергии Земли приходится на ее взаимодействие с Солнцем, Луной и другими пла­нетами. Понятие же элементарной частицы подразуме­вает «автономию», с трудом поддающуюся описанию с помощью обычных понятий. Взять, например, хотя бы электроны и фотоны. При рассмотрении их мы сталки­ваемся с дилеммой: либо отдельные частицы не сущест­вуют (часть энергии «обобществлена» электронами и фотонами, т. е. приходится на коллективные моды сис­темы электронов и протонов), либо, если исключить взаимодействие, существуют свободные (не взаимодей­ствующие) электроны и фотоны. Даже если бы мы зна­ли, как можно каждую частицу заэкранировать от дру­гих, исключение взаимодействия представляется слиш­ком радикальной мерой. Электроны поглощают или ис­пускают фотоны. Выход из создавшегося затруднения мог бы состоять в переходе к физике процессов. В этом случае структурные единицы (элементарные частицы) соответствовали бы определению гипнонов, так как в со­стоянии равновесия они ведут себя независимо. Мы надеемся, что наша гипотеза вскоре получит эксперимен­тальное подтверждение. Особенно подкрепило бы ее об­наружение стрелы времени, выражающей глобальную эволюцию природы, непосредственно во взаимодействии атомов с фотонами (или другими нестабильными элемен­тарными частицами).

Широко обсуждается в современной науке и пробле­ма космической эволюции. Каким образом мир мог быть столь «упорядоченным» на первых этапах эволю­ции после большого взрыва? Тем не менее порядок не­обходим, если мы хотим понять космическую эволюцию


как постепенное движение от порядка к хаосу.

Для удовлетворительного решения проблемы нам не­обходимо знать, адекватны ли гипноны экстремальным условиям с колоссальными температурами и плотностью материи, характерными для ранних этапов развития Вселенной. Разумеется, одной термодинамике не под силу решить эти проблемы, как не в силах решить их и одна динамика, даже в высшей своей форме — теории поля. Именно поэтому объединение динамики и термо­динамики открывает новые перспективы. Независимо от всяких прогнозов нельзя не удивляться разительным переменам, происшедшим в естествознании с тех пор, как было сформулировано второе начало (т. е. за какие-нибудь сто пятьдесят лет). Сначала физикам казалось, будто атомистические представления противоречат по­нятию энтропии. Больцман пытался спасти механисти­ческое мировоззрение ценой сведения второго начала к вероятностному утверждению, весьма важному для практических приложений, но не имеющему фундамен­тального значения. Мы не знаем, каким будет оконча­тельное решение, но современная ситуация коренным образом отличается от ситуации полуторавековой дав­ности. Материя теперь не есть нечто данное. В современ­ной теории она «конструируется» из более элементарного понятия в терминах квантованных полей. В этом конст­руировании важная роль отводится термодинамическим понятиям (необратимости, энтропии)*.

Подведем итоги достигнутого. В первой и второй части нашей книги неоднократно подчеркивалось, что на уровне макроскопических систем первостепенное зна­чение имеет второе начало (и связанное с ним понятие необратимости).

В третьей части мы стремились показать, что в на­стоящее время открывается возможность выхода за рамки макроскопического уровня, и продемонстриро­вать, что означает необратимость на микроскопическом уровне.

Переход от макроскопического уровня к микроско­пическому требует коренного пересмотра наших взгля­дов на фундаментальные законы физики. Только пол­ностью избавившись от классических представлений

* Речь, очевидно, идет о понятии материи в специально науч­ном, физическом, а не философском смысле. — Прим. перев.


(как в случае достаточно нестабильных систем), мы можем говорить о «внутренней случайности» и «внут­ренней необратимости».

Для таких систем мы можем ввести новое расширен­ное описание времени с помощью оператора Т. Как бы­ло показано на примере «преобразования пекаря» (гл. 9 «От случайности к необратимости»), этот оператор имеет в качестве собственных функций разбиения фазо­вого пространства (см. рис. 39).

Таким образом, ситуация, с которой мы сталкиваем­ся, очень напоминает ситуацию, сложившуюся в кванто­вой механике. Существуют два возможных описания: либо мы выбираем точку в фазовом пространстве и тог­да не знаем, какому разбиению она принадлежит и, сле­довательно, каков ее внутренний возраст, либо мы зна­ем внутренний возраст, но тогда нам известно только разбиение, а не точная локализация точки.

После того как мы ввели внутреннее время Т, энтро­пию можно использовать как принцип отбора для пе­рехода от начального описания с помощью функции распределения r к новому описанию с помощью функ­ции распределения r^[1], которая обладает внутренней стре­лой времени, согласующейся со вторым началом термо­динамики. Основное различие между r и r^проявляется в разложениях этих функций по собственным функциям оператора Т (см. гл. 7 «Рождение квантовой механи­ки»). В функцию r все внутренние возрасты независи­мо от того, принадлежат ли они прошлому или будуще­му, входят симметрично. В функции r^ в отличие от r прошлое и будущее играют различные роли: прошлое входит в r^, а будущее остается неопределенным. Асимметрия прошлого и будущего означает, что сущест­вует стрела времени. Новое описание обладает важной особенностью, заслуживающей того, чтобы ее отметить: начальные условия и законы изменения перестают быть независимыми. Состояние со стрелой времени возникает под действием закона, также наделенного стрелой вре­мени и трансформирующего состояние, но сохраняющего стрелу времени.

В нашей книге мы рассматривали главным образом классическую ситуацию20. Но все сказанное применимо и к квантовой механике, в которой ситуация несколько сложнее, поскольку существование постоянной Планка


лишает смысла понятие траектории и тем самым при­водит к своего рода делокализации в фазовом простран­стве. Таким образом, квантовомеханическая делокализация накладывается на делокализацию, вызванную необратимостью.

В гл. 7 мы подчеркивали, что две великие револю­ции в физике XX в. связаны с включением в фундамен­тальную структуру физики двух запретов, чуждых клас­сической механике: невозможности распространения сигналов со скоростью больше скорости света и невоз­можности одновременного измерения координат и им­пульса.

Неудивительно, что и второе начало, также ограни­чивающее наши возможности активного воздействия на материю, приводит к глубоким изменениям в структуре основных законов физики.

Нам бы хотелось закончить третью часть нашей кни­ги предостережением. Феноменологическую теорию не­обратимых процессов ныне можно считать вполне сло­жившейся. В отличие от нее микроскопическая теория необратимых процессов делает лишь первые шаги. Когда читалась верстка этой книги, в нескольких лабо­раториях подготавливались эксперименты для проверки правильности микроскопической теории. Пока эти экс­перименты не будут выполнены, умозрительный элемент в новой теории неизбежен.



Просмотров 627

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!