![]() Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу! ![]() Дисциплины:
Архитектура (936) ![]() |
![]() Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Барроу
Интеграл с переменным верхним пределом.Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:
36. Формула Ньютона-Лейбница.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции
37. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.
Если u(x) и v(x) - две функции, заданные на промежутке [a, b] и имеющие там непрерывные производные, то
Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов. Доказательство очень просто. Именно,
Так как по формуле интегрирования по частям будет
то Пусть f(z) - непрерывная функция, заданная на промежутке [p, q], а φ(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], имеющая там непрерывную же производную φ'(x) и удовлетворяющая неравенству p ≤ φ(x) ≤ q. В таком случае
Формула (22) выражает собой правило замены переменной в определенном интеграле. Оно напоминает правило замены переменной в интеграле неопределенном, но отличается от него тем, что здесь отпадает надобность в возвращении к старой переменной, т. к. формула (22) представляет собой равенство двух постоянных чисел. Заметим еще, что эта формула заменяет собой для случая определенных интегралов оба вида правила подстановки в интегралах неопределенных; только, применяя ее на практике, иной раз приходится читать ее слева направо, а иногда - справа налево. Переходя к доказательству теоремы, обозначим интегралы, входящие в левую и правую части формулы (22), соответственно через Iлев и Iправ. Пусть F(z) - функция первообразная для f(z). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница/p> Iправ = F[φ(b)] - F[φ(a)]. (23) Что же касается Iлев, то
Но согласно теореме будет
Значит, Iлев = F[φ(b)] - F[φ(a)]. Отсюда и из (23) следует, что Iлев = Iправ.
38. Интегралы от чётных, нечётных и периодических функций. Теореиа 1. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:
Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:
Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:
Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку x = – st:
Утверждение доказано. Теореиа 2. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:
Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен нулю:
Теорема доказывается аналогичным образом:
Теореиа. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [0,T] периодическая функция с периодом T:
Тогда интеграл
не зависит от λ. В частности,
Вычислим производную по λ от выражения в правой части этого равенства:
Таким образом,
что и требовалось доказать. Доказательство 2. Представим рассматриваемый интеграл в виде суммы (4) и преобразуем последний интеграл в правой части, выполнив замену переменной x = t + T. Очевидно, что этот интеграл лишь знаком отличается от первого интеграла в правой части равенства (4):
Несобственные интегралы Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом Мы рассмотрим самый популярный случай Всегда ли существует несобственный интеграл ![]() Справка: строго говоря, утверждение неверно: если есть разрывы функции, то в ряде случаев можно разбить полуинтервал на несколько частей и вычислить несколько несобственных интегралов. Для простоты здесь и далее я буду говорить, что несобственного интеграла не существует. Изобразим на чертеже график подынтегральной функции
Здесь всё хорошо, подынтегральная функция 1) Первое, мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то 2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл Несобственный интеграл может быть отрицательным. Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал. Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: Доверь свою работу кандидату наук!
![]() |