Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Динамика и термодинамика — два различных мира



Мы уже упоминали о том, что траектории несовме­стимы с понятием необратимости. Но поведение траек­торий — отнюдь не единственный язык, на котором мы


можем сформулировать динамику. В качестве альтерна­тивы сошлемся на теорию ансамблей, развитую Гиббсом и Эйнштейном7,18 и представляющую особый ин­терес при изучении систем, состоящих из большого чис­ла молекул. Существенно новым элементом в теории ансамблей Гиббса—Эйнштейна явилась возможность сформулировать динамическую теорию независимо от точного задания каких бы то ни было начальных усло­вий.

В теории ансамблей физические системы рассматри­ваются в фазовом пространстве. Динамическое состоя­ние точечной частицы (материальной точки) определя­ется ее положением (вектором с тремя компонентами) и импульсом (тоже вектором с тремя компонентами). Такое состояние можно представить двумя точками (каждая из которых принадлежит «своему» трехмер­ному пространству) или одной точкой в шестимерном пространстве координат и импульсов. Это и есть фазо­вое пространство. Геометрическое представление дина­мических состояний одной точечной частицы обобщает­ся на случай произвольной системы п частиц. Для того чтобы задать состояние такой системы, необходимо ука­зать nr6 чисел, или точку в 6n-мерном фазовом про­странстве. Эволюции во времени системы п частиц бу­дет соответствовать траектория в фазовом простран­стве.

Мы уже говорили о том, что точные начальные ус­ловия макроскопической системы никогда не известны. Однако ничто не мешает нам представить систему ан­самблем точек, т. е. «облаком» точек, соответствующих различным динамическим состояниям, совместимым с той информацией о системе, которой мы располагаем. Каждая область фазового пространства может содер­жать бесконечно много представляющих точек. Их плотность служит мерой вероятности найти рассматри­ваемую систему в данной области. Вместо того чтобы рассматривать бесконечно много дискретных точек, удобнее ввести непрерывное распределение представля­ющих точек в фазовом пространстве. Пусть r(q1, ..., q3n, p1, ..., p3n) —плотность распределения представляющих точек в фазовом пространстве, где q1, ..., q3nкоорди­наты п точек, a p1, ..., p3nимпульсы тех же точек (каждая точка имеет три координаты и три импульса). Плотность r есть плотность вероятности найти динами-




ческую систему в окрестности точки q1, ..., q3n, p1, ..., p3n фазового пространства.

При таком подходе плотность r может показаться идеализацией, искусственной конструкцией, а траекто­рия точки в фазовом пространстве «непосредственно» соответствующей описанию «естественного» поведения системы. Но в действительности идеализацией являет­ся точка, а не плотность. Дело в том, что начальное состояние никогда не бывает известно с бесконечной степенью точности, позволяющей стянуть область в фа­зовом пространстве в отдельную точку. Мы можем лишь определить ансамбль траекторий, выходящих из ан­самбля представляющих точек, соответствующих тому, что нам известно относительно начального состояния системы. Функция плотности r отражает уровень на­ших знаний о системе: чем точнее знания, тем меньше область в фазовом пространстве, на которой плотность отлична от нуля, т. е. та область, где может находить­ся система. Если бы плотность была равномерно рас­пределена по всему фазовому пространству, то утверж­дать что-либо относительно состояния системы было бы невозможно. Она могла бы находиться в любом из состояний, совместимых с ее динамической структурой.



При таком подходе точка соответствует максимуму знания, которым мы можем располагать о системе. Та­кой максимум есть результат предельного перехода, все возрастающей точности нашего знания. Как мы уви­дим в гл. 9, фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, какой предельный переход реально осуществим. Непрестанное повышение точности означа­ет, что от одной области в фазовом пространстве, где плотность r отлична от нуля, мы переходим к другой, меньшей, которая содержится в первой. Такое стягива­ние мы можем продолжать до тех пор, пока область, содержащая систему, не станет сколь угодно малой. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, необходимо соблюдать осторожность: «сколь угодно малая» не оз­начает «нулевая», и априори ниоткуда не следует, что наш предельный переход непременно приведет к непро­тиворечивому предсказанию отдельной однозначно оп­ределенной траектории.

Теория ансамблей Гиббса—Эйнштейна — естест­венное продолжение теории Больцмана. Функцию плот­ности r в фазовом пространстве можно рассматривать


как аналог функции распределения скоростей f, кото­рую использовал Больцман. Но по своему физическо­му содержанию PPP «богаче», чем f. Функция плотности r так же, как и f, определяет распределение скоростей, но, помимо этого, r содержит и другую информацию, в частности вероятность найти две частицы на опреде­ленном расстоянии друг от друга. В функцию плотно­сти PPP входит и все необходимое для определения кор­реляций между частицами, о которых шла речь в пре­дыдущем разделе. Более того, r содержит полную ин­формацию о всех статистических свойствах системы п тел.

Опишем теперь эволюцию функции плотности в фа­зовом пространстве. На первый взгляд это еще более дерзкая задача, чем та, которую поставил перед собой Больцман: описание временной эволюции функции рас­пределения скоростей. Но это не так. Канонические уравнения Гамильтона, о которых шла речь в гл. 2, по­зволяют нам получить точное эволюционное уравнение для r без дальнейших приближений. Это так называе­мое уравнение Лиувилля, к которому мы еще вернемся в гл. 9. Пока же отметим лишь одно важное следствие из гамильтоновой динамики: плотность r эволюциони­рует в фазовом пространстве как несжимаемая жид­кость (если представляющие точки в какой-то момент времени занимают в фазовом пространстве область объ­емом V, то объем области остается постоянным во вре­мени). Форма области может изменяться произвольно, но объем ее при всех деформациях сохраняется.



Таким образом, теория ансамблей Гиббса открыва­ет возможность строгого сочетания статистического под­хода (исследования «популяции», описываемой плот­ностью r) и законов динамики. Она допускает также более точное представление состояния термодинамиче­ского равновесия. Например, в случае изолированной системы ансамбль представляющих точек соответству­ет системам с одной и той же энергией Е. Плотность r отлична от нуля только на микроканонической поверх­ности в фазовом пространстве, отвечающей заданному значению энергии. Первоначально плотность r может быть распределена по микроканонической поверхности произвольно. В состоянии равновесия плотность r пе­рестает изменяться во времени и не должна зависеть от выбора начального состояния. Следовательно, при-


Рис. 28. Временнáя эволюция в фазовом пространстве «объема», содержащего представляющие точки системы: величина объема остается неизменной, а форма искажается. Положение в фазовом пространстве задается координатой q и импульсом р.

ближение к равновесному состоянию имеет простой смысл в терминах эволюции плотности r: функция рас­пределения r становится постоянной на всей микроканонической поверхности. Каждая точка такой поверх­ности с равной вероятностью может представлять си­стему. Это соответствует микроканоническому ансамб­лю.

Приближает ли теория ансамблей хоть сколько-ни­будь к решению проблемы необратимости? Теория Больцмана описывает термодинамическую энтропию с помощью функции распределения скоростей f. Для это­го Больцману пришлось ввести свою H-функцию. Как мы уже знаем, система эволюционирует во времени до тех пор, пока распределение скоростей не становится максвелловским, и на протяжении всей эволюции H функция монотонно убывает. Можно ли теперь в бо­лее общем плане принять за основу возрастания энтро­пии эволюцию распределения r в фазовом пространст­ве к микроканоническому ансамблю? Достаточно ли для этого вместо больцмановской функции H, выра­женной через f, взять гиббсовскую функциюHG, зави­сящую точно таким же образом от r? К сожалению, ответы на оба вопроса отрицательны. Если мы рассмот­рим уравнение Лиувилля, описывающее эволюцию плот­ности r в фазовом пространстве, и учтем сохранение объема «фазовой жидкости», о котором уже упомина-


лось, то вывод последует незамедлительно: функция HG постоянна и поэтому не может быть аналогом энт­ропии. По отношению к теории Больцмана последнее обстоятельство кажется не столько продвижением впе­ред, сколько шагом назад!

Несмотря на этот негативный аспект, вывод Гиббса остается весьма важным. Мы уже неоднократно отме­чали расплывчатость и. неоднозначность понятий поряд­ка и хаоса. Постоянство функции HG свидетельствует о том, что в рамках динамической теории не существу­ет никакого изменения порядка! «Информация», выра­жаемая функцией HG, остается постоянной. Сохранение информации можно понимать следующим образом: столкновения порождают корреляции. В результате столкновений скорости рандомизируются, становятся случайными, что позволяет нам описывать весь про­цесс как переход от порядка к хаосу. Вместе с тем по­явление корреляции в результате столкновений свиде­тельствует об обратном процессе: о переходе от хаоса к порядку! Теория Гиббса показывает, что оба процес­са — прямой и обратный — в точности компенсируют друг друга.

Итак, мы приходим к важному выводу: независимо от выбора представления (будь то движение по траек­ториям или теория ансамблей Гиббса—Эйнштейна) нам не удастся построить теорию необратимых процес­сов, которая выполнялась бы для любой системы, удов­летворяющей законам классической (или квантовой) механики. У нас нет даже способа говорить о переходе от порядка к хаосу! Как следует понимать эти отрица­тельные результаты? Любая ли теория необратимых процессов находится в неразрешимом конфликте с ме­ханикой (классической или квантовой)? Нередко высказывалось предложение включить космологические чле­ны, которые учитывали бы влияние расширяющейся Вселенной на уравнения движения и порождали бы стрелу времени. С подобной идеей трудно согласиться. С одной стороны, не вполне ясно, как вводить эти кос­мологические члены. С другой стороны, точные динами­ческие эксперименты, по-видимому, отвергают сущест­вование космологических членов, по крайней мере если говорить о земных масштабах, которые мы и рассмат­риваем в данном случае (достаточно вспомнить о пре­цизионных космических экспериментах, поставленных


с помощью искусственных спутников Земли и под­твердивших с высокой точностью уравнения Ньютона). Вместе с тем, как уже неоднократно подчеркивалось, мы живем в плюралистическом мире, в котором обра­тимые и необратимые процессы сосуществуют в одной и той же расширяющейся Вселенной.

Еще более радикальный вывод состоит в том, чтобы встать на точку зрения Эйнштейна и считать время как необратимость иллюзией, которая никогда не найдет се­бе места в объективном мире физики. К счастью, су­ществует другой выход, который мы подробно рас­смотрим в гл. 9. Необратимость, как мы неоднократно отмечали, не является универсальным свойством, а это означает, что не следует ожидать общего вывода необратимости из динамики.

Теория ансамблей Гиббса вводит лишь один допол­нительный, но очень важный элемент по сравнению с динамикой траекторий: наше незнание точных началь­ных условий. Маловероятно, чтобы одно лишь это не­знание приводило к необратимости.

Таким образом, не следует удивляться, что нас постигла неудача. Ведь мы так и не сформулировали те специфические особенности, которыми должна обладать динамическая система для того, чтобы приводить к не­обратимым процессам.

Почему так много ученых с готовностью приняли субъективную интерпретацию необратимости? Возмож­но, привлекательность субъективной интерпретации от­части объясняется тем, что, как мы знаем, необратимое возрастание энтропии сначала связывалось с несовер­шенством манипуляций, производимых над системой, и неполнотой нашего контроля над идеально обратимыми операциями.

Но субъективная интерпретация становится явно абсурдной, если мы оставляем в стороне малосущест­венные ассоциации с технологическими проблемами. Не следует забывать также о том историческом кон­тексте, в котором второе начало термодинамики об­рело интерпретацию стрелы времени. Если принять субъективную интерпретацию, то химическое сродство, теплопроводность, вязкость, т. е. все свойства, связан­ные с необратимым производством энтропии, окажутся зависимыми от наблюдателя. Кроме того, та роль, ко­торую играют в биологии явления организации, связан-


ные с необратимостью, не позволяет считать их просты­ми иллюзиями, обусловленными нашим незнанием. Раз­ве мы сами, живые существа, способные наблюдать и производить манипуляции, — не более чем фикции, вы­званные несовершенством наших органов чувств? Разве различие между жизнью и смертью — иллюзия?

Таким образом, последние достижения термодинами­ческой теории увеличили остроту конфликта между ди­намикой и термодинамикой. Попытки свести результа­ты термодинамики к аппроксимациям, обусловленным несовершенством нашего знания, оказались несостоя­тельными, когда была понята конструктивная роль энт­ропии и открыта возможность усиления флуктуаций. Наоборот, динамику трудно отвергнуть во имя необра­тимости: в движении идеального маятника нет никакой необратимости. Существование двух конфликтующих миров — мира траекторий и мира процессов — не вызы­вает сомнений. Мы не можем отрицать существование одного из них, утверждая существование другого.

В какой-то степени имеется определенная аналогия между этим конфликтом и тем, с которым связано за­рождение диалектического материализма. В гл. 5 и 6 мы описали природу, которую можно было бы назвать «исторической», т. е. способной к развитию и иннова­ции. Идея истории природы как неотъемлемой состав­ной части материализма принадлежит К. Марксу и бы­ла более подробно развита Ф. Энгельсом. Таким обра­зом, последние события в физике, в частности открытие конструктивной роли необратимости, поставили в есте­ственных науках вопрос, который давно задавали материалисты. Для них понимание природы означало пони­мание ее как способной порождать человека и челове­ческое общество.

Кроме того, в то время, когда Энгельс писал «Диа­лектику природы», физические науки отвергали меха­нистическое мировоззрение и склонялись ближе к идее исторического развития природы. Энгельс упоминает три фундаментальных открытия: энергии и законов, уп-равляющих ее качественными преобразованиями; клет­ки как основы всех органических существ и открытие Дарвином эволюции видов. Исходя из этих трех вели­ких открытий, Энгельс пришел к выводу, что механи­стическое мировоззрение мертво. Вместе с тем механи­цизм ставил перед диалектическим материализмом ряд


принципиальных и далеко не простых вопросов. Како­вы соотношения между общими законами диалектики и столь же универсальными законами механического движения? Становятся ли последние неприменимыми после того, как достигнута определенная стадия раз­вития, или же они просто неверны или неполны? Нель­зя еще раз не задать и наш предыдущий вопрос: как вообще могут быть связаны между собой мир процес­сов и мир траекторий19?

Но сколь ни легко критиковать субъективную ин­терпретацию необратимости и отмечать еe слабые сто­роны, выйти за ее рамки и сформулировать «объектив­ную» теорию необратимых процессов необычайно труд­но. В истории попыток создания этого предмета звучат и трагические ноты. Многие склонны считать, что имен­но отчетливое понимание принципиальных трудностей, стоящих на пути к созданию объективной теории необ­ратимых процессов и казавшихся непреодолимыми, привело Больцмана в 1906 г. к самоубийству.

Больцман и стрела времени

Как мы уже упоминали, Больцман сначала полагал, будто ему удалось доказать, что стрела времени опре­деляется эволюцией динамических систем от менее ве­роятных состояний к более вероятным или от состояний с меньшим числом комплексов к состояниям с боль­шим числом комплексов (число комплексов монотонно возрастает со временем). Обсуждали мы и возражения Пуанкаре и Цермело. Пуанкаре доказал, что всякая замкнутая динамическая система со временем возвра­щается в сколь угодно малую окрестность своего ис­ходного состояния. Иначе говоря, все состояния дина­мической системы так или иначе повторимы. Могла ли в таком случае стрела времени быть связана с возра­станием энтропии? После мучительных размышлений Больцман изменил свою позицию. Он оставил попытки доказать существование объективной стрелы времени и выдвинул новую идею, которая в известном смысле сво­дила закон возрастания энтропии к тавтологии. Больц­ман считал теперь, что стрела времени — не более чем соглашение, водимое нами (или, быть может, всеми живыми существами) в мир, в котором не существует объективного различия между прошлым и будущим.


Вот что писал, например, Больцман в ответ на крити­ку Цермело:

«Имеется выбор между двумя представлениями. Можно предположить, что вся Вселенная сейчас нахо­дится в некотором весьма невероятном состоянии. Но можно мыслить зоны — промежутки времени, по исте­чении которых снова наступают невероятные собы­тия, — такими же крошечными по сравнению с продол­жительностью существования Вселенной, как расстоя­ние от Земли до Сириуса ничтожно по сравнению с ее размерами.

Тогда во всей Вселенной (которая в противном слу­чае повсюду находилась бы в тепловом равновесии, т. е. была бы мертвой) имеются относительно неболь­шие участки порядка масштаба нашей звездной систе­мы (мы будем называть их отдельными мирами), ко­торые в течение относительно небольших по сравнению с эоном промежутков времени значительно отклоняют­ся от теплового равновесия, а именно: среди этих миров одинаково часто встречаются состояния, вероятности которых возрастают и уменьшаются. Таким образом, для Вселенной в целом два направления времени явля­ются неразличимыми, так как в пространстве нет верха и низа. Но точно так же, как мы в некотором опреде­ленном месте земной поверхности называем «низом» направление к центру Земли, так и живое существо, которое находится в определенной временной фазе од­ного из таких отдельных миров, назовет направление времени, ведущее к более невероятным состояниям, по-другому, чем противоположное (первое — как направ­ленное к «прошлому», к началу последнее — к «буду­щему», к концу), и вследствие этого названия будет об­наруживать «начало» для этих малых областей, выде­ленных из Вселенной, всегда в некотором невероятном состоянии.

Этот метод представляется мне единственным, с по­мощью которого можно осмыслить второе начало, теп­ловую смерть каждого отдельного мира без того, чтобы предполагать одностороннее изменение всей Вселенной от некоторого определенного начального состояния по направлению к некоторому итоговому конечному со­стоянию»20.

Идея Больцмана наглядно изображена на диаграм­ме, предложенной Карлом Поппером (рис. 29). Стре-


Рис. 29. Схематическое изображение больцмановской космологической интерпретации стрелы времени по Попперу (см. текст).

ла времени столь же произвольна, как и вертикальное направление, определяемое гравитационным полем.

Комментируя Больцмана, Поппер заметил следую­щее:

«Идея Больцмана поражает своей смелостью и красотой. Вместе с тем она заведомо неприемлема, по крайней мере для реалиста. Она объявляет одностороннее изменение иллюзией. В таком случае трагическую гибель Хиросимы также следует считать иллюзией. Но тогда и весь наш мир становится иллюзией вместе со всеми нашими попытками узнать о нем нечто новое. Тем самым идея Больцмана (как и любой идеализм) обрекает себя на поражение. Идеалистическая гипоте­за Больцмана имеет характер ad hoc гипотезы и про­тиворечит его собственной реалистической и не без страстности отстаиваемой антиидеалистической фило­софии и неутолимой жажде знания»21.

Мы полностью согласны с комментариями Поппера и считаем, что настало время опять вернуться к задаче, которую некогда ставил перед собой Больцман. Двад­цатый век стал свидетелем великой концептуальной революции в физике, что не могло не породит новые на­дежды на объединение динамики и термодинамики. Ныне мы вступаем в новую эру в истории времени, эру, в которой бытие и становление могут быть объединены в непротиворечивую картину.


Просмотров 775

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!