Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Критика больцмановской интерпретации



Возражения против теории Больцмана появились сразу же после выхода его основной работы в 1872 г. Действительно ли Больцману удалось «вывести» необ­ратимость из динамики? Каким образом обратимые за­коны движения по траекториям могут порождать не­обратимую эволюцию? Не противоречит ли кинетиче­ское уравнение Больцмана динамике? Нетрудно видеть, что симметрия уравнения Больцмана не согласуется с симметрией классической механики.

Мы уже видели, что в классической динамике обра­щение скорости (v®—v) приводит к такому же ре­зультату, как и обращение времени (t®—t). Это — основная симметрия классической динамики, и можно было бы надеяться, что кинетическое уравнение Больцмана, описывающее, как изменяется во времени функ­ция распределения, обладает такой же симметрией. Но


в действительности все обстоит иначе: вычисленный Больцманом столкновительный член инвариантен отно­сительно обращения скорости. Эта несколько неожи­данная инвариантность имеет простой физический смысл: в больцмановской картине нет никакого раз­личия между столкновением, обращенным в будущее, и столкновением, обращенным в прошлое. Именно на этой идее основано возражение Пуанкаре против вывода уравнения Больцмана, предложенного самим Больцма­ном. Правильные вычисления не могут приводить к за­ключениям, противоречащим исходным допущени­ям13, 14. Но, как мы видели, симметрия кинетического уравнения, выведенного Больцманом для функции рас­пределения, противоречит симметрии классической ди­намики. Следовательно, заключает Пуанкаре, Больцман не сумел «вывести» энтропию из динамики. Где-то в своих рассуждениях он ввел нечто новое, чуждое ди­намике. Следовательно, выведенное Больцманом урав­нение в лучшем случае может рассматриваться лишь как феноменологическая модель, полезная, но не име­ющая прямого отношения к динамике. Таково было также возражение Цермело (1896), выдвинутое против теории Больцмана.

С другой стороны, возражение Лошмидта (1876) позволило установить границы применимости кинетиче­ской модели Больцмана. Лошмидт заметил, что модель Больцмана перестает выполняться после обращения скоростей, соответствующего преобразованию v®—v.



Поясним суть возражения Лошмидта с помощью мысленного эксперимента. Предположим, что газ на­ходится сначала в неравновесном состоянии и эволю­ционирует до момента времени t0. В момент времени t0 обратим все скорости. Тогда система вернется в началь­ное состояние. Следовательно, больцмановская энтро­пия при t=0 и t=2t0 должна быть одинакова.

Число таких мысленных экспериментов легко мож­но было бы приумножить. Предположим, что при t=0 у нас имеется смесь водорода и кислорода. Через ка­кое-то время образуется вода. Если обратить все ско­рости, то смесь вернется в исходное состояние: вода ис­чезнет, останутся только водород и кислород.

Интересно, что в лаборатории или в численном мо­делировании обращение скоростей — вполне выполни­мая операция. Например, на рис. 26 и 27 H-функция


Больцмана вычислена для двухмерных твердых сфер (дисков). В начальный момент времени диски располагаются в узлах квадратной решетки с изотропным рас­пределением cкоростей. Результаты вычислений совпа­дают с предсказаниями Больцмана.

Рис. 26. Эволюция H со временем для N «твердых шаров» (численное моделирование): a) N=100, b) N=484, с) N=1225.

Если через пятьдесят или сто столкновений (в раз­реженном газе это соответствует 10-6с) обратить ско­рости, то получается новый ансамбль15. После обраще­ния скоростей H-функция Больцмана уже не убывает, а возрастает.



Аналогичная ситуация возникает при определенных условиях в реальных экспериментах со спиновым эхом и эхом в плазме: на ограниченных интервалах времени наблюдается «антитермодинамическое», в смысле Больцмана, поведение системы.

Важно отметить, что эксперимент по обращению скоростей тем труднее, чем позже происходит обраще­ние скоростей (т. е. чем больше время t0).

Восстановить свое прошлое газ может лишь в том случае, если он «помнит» все, что с ним произошло в интервале времени от t=0 до t=t0. Для этого необхо­димо какое-то «хранилище» информации. В роли тако-


го хранилища, или памяти, выступают корреляции меж­ду частицами. К вопросу о корреляциях мы вернемся в гл. 9. Пока же заметим, что именно это соотношение между корреляциями и столкновениями было недоста­ющим звеном в рассуждениях Больцмана. Когда Лошмидт в полемике с Больцманом указал на это обстоя­

Рис. 27. Эволюция H при обращении скоростей после 50 и 100 соударений. Численное моделирование для 100 «твердых шаров».

тельство, Больцман вынужден был признать правоту своего оппонента: обратные столкновения «ликвидиру­ют последствия» прямых столкновений и система долж­на возвращаться в начальное состояние. Следователь­но, H-функция должна возрастать от конечного значе­ния к начальному. Таким образом, обращение скоро­стей требует проведения различия между ситуациями, к которым рассуждения Больцмана применимы, и си­туациями, в которых те же рассуждения неверны.

После того как эта проблема была поставлена (1894), выяснить природу ограничения оказалось. совсем не трудно16,17. Применимость статистического подхода Больцмана зависит от предположения о том, что перед столкновением молекулы ведут себя незави-


симо друг от друга. Это предположение относительно начального состояния газа известно под названием ги­потезы молекулярного хаоса. Начальное состояние, воз­никающее в результате обращения скоростей, не удов­летворяет гипотезе молекулярного хаоса. Если систему заставить эволюционировать «вспять во времени», то создается новая ситуация, аномальная в том смысле, что некоторым молекулам, сколь бы далеко друг от друга они ни находились в момент обращения скорос­тей, предопределено встретиться в заранее установлен­ный момент времени и подвергнуться заранее установ­ленному преобразованию скоростей.



Обращение скоростей порождает высокоорганизо­ванную систему, и гипотеза молекулярного хаоса пере­стает выполняться. Различные столкновения, как бы под влиянием предустановленной гармонии, порождают поведение газа, которое внешне вполне «целенаправ­ленно».

Но это еще не все. Что означает переход от поряд­ка к хаосу? В предложенной Эренфестами модели урн ответ ясен: система эволюционирует до тех пор, пока распределение шаров не становится равномерным. В других случаях ситуация не столь проста. Мы можем воспользоваться численным моделированием и начать со случайного распределения взаимодействующих час­тиц. Со временем (на какое-то мгновение) может обра­зоваться правильная решетка. Происходит ли в этом случае переход от порядка к хаосу? Ответ на этот во­прос далеко не очевиден. Для того чтобы понять поря­док и хаос, нам необходимо прежде всего определить те объекты, к которым мы применяем эти понятия. Пе­реход от динамики к термодинамике, как показал Больцман, совершается особенно легко в разреженных газах. Но в плотных системах, где молекулы взаимо­действуют между собой, переход этот не столь очевиден.

Именно из-за трудностей, возникающих при рас­смотрении плотных систем с взаимодействующими час­тицами, яркая пионерская теория Больцмана осталась незавершенной.

 


Просмотров 641

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!