Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Решение плоских треугольников



 

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника общего вида имеется 6 основных характеристик: 3 линейные (длины сторон ) и 3 угловые ( ), см. рисунок. В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому будем считать, что хотя бы одна из известных величин — линейная.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Далее будем символически обозначать заданные величины С (сторона) и У (угол). Поскольку сочетание УУУ исключено из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов[2]:

· Три стороны (ССС);

· Две стороны и угол между ними (СУС);

· Две стороны и угол не между ними (ССУ);

· Сторона и два прилежащих угла (УСУ);

· Сторона, противолежащий угол и один из прилежащих (УУС).

Заданы три стороны

Три стороны[править | править исходный текст]

Пусть заданы длины всех трёх сторон . Чтобы найти углы , воспользуемся теоремой косинусов[3]:

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна 180°.

В некоторых источниках предлагается второй угол найти по теореме синусов, но, как указано в вышеприведенном замечании 1, при этом существует опасность спутать тупой угол с острым.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам: использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править исходный текст]

Пусть, для определённости, известны длины сторон и угол между ними. Для определения длины стороны вновь воспользуемсятеоремой косинусов[4]:

Мы фактически свели задачу к предыдущему случаю. Далее воспользуемся теоремой косинусов для нахождения второго угла:

Третий угол .

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними[править | править исходный текст]

Этот случай самый сложный и неоднозначный. Пусть, например, известны две стороны и угол . Уравнение для угла найдём изтеоремы синусов[5]:

Для краткости обозначим (правая часть уравнения). При решении уравнения возможны 4 случая[6].

1. Если , такого треугольника не существует (сторона «не достаёт» до линии BC).



2. Если , существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный,

Два возможных решения

3. Если , то возможны 2 варианта.

1. Если , то угол имеет два возможных значения: острый угол и тупой угол . На рисунке справа первому значению соответствуют точка , сторона и угол , а второму значению — точка , сторона и угол .

2. Если , то (как известно, большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для исключён, и решение единственно.

Третий угол находится как обычно: . Третью сторону можно найти по теореме синусов:

Заданы сторона и прилежащие к ней углы

Сторона и прилежащие к ней углы[править | править исходный текст]

Пусть задана сторона и углы . Вначале находим третий угол . Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов[7]:

Сторона, прилежащий и противолежащий углы[править | править исходный текст]

Этот случай решается так же, как предыдущий: находим третий угол и применяем теорему синусов.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!