Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Производные и дифференциалы высших порядков



Производная n-ого порядка – производная от производной (n-1)-ого порядка.

f ||(x) – II порядок

f (x) – II порядок

f |V(x) – II порядок

fV(x) – II порядок

f(n)(x)

f(n)(x)= (f(n-1)(x))|

пример:

y=arctgx

y|=1/1+x2

y||=(1/1+x2)|=-2x/(1+x2)2

Дифференциал n-ого порядка – дифференциал от (n-1)-ого порядка.

dnf(x) – обозначение

dnf(x)=d(d(n-1)f(x))

Пусть имеется f(x), x – независимый аргумент.

dnf=f(n)(x)(dx)n

11. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа.

Т Ферма: (необходимый признак экстремума)

экстремум – максимум и минимум функции.

T: Если функция в точке х0 имеет экстремум и дифф. в этой точке, то ее производная равна нулю.

y=f(x) х0 – экстремум max

берем производную в точке х0

f |(x)=limΔx→0(Δf/Δx)

если Δx>0 тогда Δf/Δx≤0

если Δx<0 тогда Δf/Δx≥0

=> f |0)=0

Т Ролля:

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его и принимает на его концах равные значения, то сущ. точка с внутри отрезка такая, что в этой точке f |(x)=0

f |(c)=0

f(x) m M

По Т. Вейерштрасса (могут приниматься I либо на концах II либо внутри промежутка)

I f(a)=f(b)

m=M=>f(x)=const сущ. точка с, что произв. равна 0

II M=f(х0), х0€(a,b)

По Т.Ферма в этой точке производная равно 0.

Т. Коши:

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и производная g|(x) не 0. Тогда справедлива формула:

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g|(c) c€(a,b) – некоторая точка опр. внутри отрезка

Док-во:

h(x)=f(x)+λg(x) λ-какое-то число

λ – мы выберем такое, чтобы h принимало равные значения на концах отрезка.

h(a)=h(b)

f(a)+λg(a)=f(b)+λg(b)

λ= (f(a)-g(b))/(g(b)-g(a))

h(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g(b)

По Т. Ролля сущ. точка с, где h|(c)=0

h|(x)= f |(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g|(b)
0= f |(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g|(b) =>
(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g|(c)

Т. Лагранжа:

если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифф. внутри него, то внутри отрезка найдется такая точка с, обладающая cв-вом f(b)-f(a)=f |(c)(b-a) – формула Лагранжа(т. о конечном приращении)

Док-во:

f(с)/g(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

y => (f(b)-f(a))/(b-a)=f |(a) =>

f(b)-f(a)=f |(c)(b-a)

Признаки возрастания и убывания функции.

Монотонные функции – возрастающие и убывающие функции.

f(x) на промежутке <a,b> называется возрастающей если большему значению ф-ции следует меньшее значение аргумента.



x|<x|| => f(x|)≤f(x||)

T: если ф-ция непрерывна и дифф. на промежутке, то для возрастания ф-ции необходимо и достаточно неотрицательность первой производной.

Необходимость: если f(x) возрастает

x Δx>0

f(x+ Δx)-f(x)=Δf ≥0

Δf/Δx≥0

limxΔx(Δf/Δx)≥0

если функция возрастает, то ее производная не отрицательна.

Покажем что f(x) будет возрастать:

f |(x)≥0 -> f(x) – возр.

x|<x||

f(x||)-f(x|)=f |(c)(x||-x|)≥0; (x||-x|)>0 большему значению аргумента соответствует наименьшее значение функции.

x|<c<x||

 

Если функция дифф на промежутке, то для убывания ф-ции необходимо и достаточно чтобы ее производная была неположительна.

 

 

 

Экстремум функции. Достаточные условия.

экстремум – максимум и минимум функции.

1ая производная

f(x) x0

дифф в точке

тогда в x0 будет экстремум, если при прохождении x0 1ая производная меняет знак: если «-» → «+» - минимум;

если «+» → «-» - максимум.

2ая производная:

Пусть функция определена в x0 и 2жды дифф в этой точке (x0 – стационарная точка функции f |(x)≠0), тогда если в точке 2ая производная больше нуля, то в точке x0 имеется экстремум(минимум); f ||(x)<0 – то максимум

 

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!