Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Производная сложной функции



Для того чтобы функция была дифф в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение Δf было представлено в виде:

Δf=AΔx+БМВ, А – const

неопределенность:

f(x) x0 f |(x0)

limΔx→0(Δf/Δx)=f |(x0)

(Δf/Δx)- f |(x0)=БМВ

Δf= f |(x0)Δx+БМВΔx

Достаточность:

Δf=AΔx+БМВ | :Δx

Δf/Δx=А+БМВ/Δx

БМВ/Δx→0

БМВ должна быть более высокого порядка чем Δx.

Теорема о производной сложной функции

y(x) x0 y |(x0)=y|0

z(x) y0 z |(y0)= z|0

y0=y(x0)

z(y(x))= (x0)

(x0)=z |y(y0) y |x(x0)= z |0 y |0

Δ = (x0+Δx)- (x0)=z(y(x0+Δx))-z(y(x0))= z(y0+Δy)-z(y0)=Δz=z|(y0)Δy+α= z|(y0)[y|0(x0)Δx+β]+α= z|(y0)y|0(x0)Δx+z|(y0)β+α; z|(y0)β+α – БМВ

(x0)= z |(y0) y |(x0)= z |0 y |0

 

 

 

4. Производная сложной функции. Пусть дана , где . Тогда имеет место теорема, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема. Если функция имеет в точке производную и функция имеет в точке производную , тогда сложная функция имеет в точке производную, равную

 

Производная обратной функции.

y=y(x) дифф. в точке x0 y0=y(x0) y|(x0)≠0

x=x(y) -> обратная ф-ция y, тогда в точке у0 функция х дифференцируема и ее производная х|(y0)=1/y|(x0)

х|(y0)=limΔy→0(Δx/Δy)=limΔy→0(1/(Δy/Δx))= limΔx→0(1/(Δy/Δx))= 1/y|(x0)

6. Производная обратной функции.

Теорема. Если имеет в точке производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция также имеет производную и имеет место соотношение

. (6)

Пользуясь этой теоремой, найдем производные обратных три­го­но­мет­ри­чес­ких функций.

1. на интервале . , тогда , от­ку­да сле­до­ва­тель­но, .

2. . . , откуда

3. . ; , откуда

4. ; ;

5. , где и являются функциями от . Для нахождения применим формулу (5). Для этого предварительно найдем функцию

и ее производную

.

По формуле (5) получаем .

Эту же формулу можно получить иначе. Представим в виде

и найдем производную этой функции

.

Производная элементарных функций.

№ п/п Функция Производная № п/п Функция Производная
1. C – const 11.
2. 12.
3. 13.
4. 14.
5. 15.
6. 16.
7. 17.
8. 18.
9. 19.
     

7. Дифференциал функции. Свойства и геометрический смысл.



Δf=AΔx+БМВ; AΔx=дифф. функции в данной точке.

Дифф. функции у – это приращение ординаты касательной, проведенной к графике в точке x0.

Cв-ва:

1) y=x, согл. опр.

dy=x|Δx=Δx

dx=Δx дифф. независ. аргумента – приращение этого аргумента.

df=f|dx

Инвариантность(неизменность) формы первого дифференциала.

z=z(y) y=y(x)

dz=z|ydy (3)

dz=z|xdx=z|yy|xdy=z|ydy

Св-ва:

dC=0

dCf=Сва

d(f±g)=df±dg

d(fg)=gdf+fdg

d(f/g)= gdf-fdg/g2; d(fg)=(fg)|dx=(f|g+fg|)dx=

f|dxg/df+ fg|dx/dg=df+dg

Первый дифференциал функции Z выражается по одной и той же формуле независимо от того, будет ли Z рассматриваться как функция от независимой переменной x или от зависимой переменной Y.

Форма первого дифференциала (3) сохраняется , поэтому говорят, что первый дифференциал имеет инвариантную форму или еще имеет инвариантное свойство.

 

Производные функции, заданных параметрически и неявно.

Парамеричемки:

y|x=dy/dx=y|tdt/x|tdt=y|t/x|t

y|x=y|t/x|t

пример:

y|x-? y||x-?

y|x=(t2)|/(cost)|=-2t/sint

y||x^2=(y|x)|

y||x^2=(-2t/sint)|/(cost)|==(2sint-2tcost)/(sin3t)

Неявно:

F(x,y)=0

y=y(x)

пример: xcosy+y=0 y|x-?

y=y(x)

cosy+x(-siny)y|+y|=0

y|=-cosy/1-xsiny

 

 

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!