Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Свойства непрерывных функций



1. Сумма, разность и произведение непрерывных в точке x0 функций – есть функция непрерывная в точке x0.

Замечание: Справедливо как для функций непрерывных в данной точке, так и для функций непрерывных в целом.

f(x) и g(x) (непрерывна в точке x0)

h(x)=f(x)g(x)

limxx0h(x)= limxx0f(x)g(x)= limxx0f(x) limxx0g(x)=f(x0)g(x0)=h(x)

Непрерывность – свойство нетеряемое в процессе арифметических операций.

2. Частное двух непрерывных функций f(x)/g(x) есть непрерывная функция при условии, что g(x)→не ровно 0, в точке x0

3. Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

4. Если y=f(x) непрерывная в x0, тогда f(x0)=y0, тогда x=g(y) будет непрерывна в точке y0

5. Все элементы функции непрерывны в своей области. Непрерывность некоторых элементарных функций:

1. f(x)=C C=const, непрерывная функция на всей ООФ

2. рациональная функция:

f(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xn+b1xn-1+…+bn) – непрерывна для всех х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль.

таким обр. функция этого вида непрерывна на все оболасти определиния.

3. Тригонометрическая ф-ция непрерывна на своей ООФ

4. f(x)=x – непрерывна limxx0f(x)=f(x0), limxx0x=x0

5. xn=x*x…xn (n-раз) xn-непрерывна.

Св-ва:

1) Любой многочлен явл. непрерывной функцией Pn=anxn+an+1xn-1+…+an

2) Любая дробно-рациональная функция явл. рациональной в области задания. Pn(x)/Qn(x)

Теорема: Любая функция, полученная из элементарных путем конечного применения арифметических операций, или операций суперпозиции функции (обратной) является непрерывной в обл. задания.

 

Непрерывность суперпозиции функции.

Т: Пусть функция φ(y) определима в промежутке y, а ф-ция f(x) – в промежутке x, причем значение последовательности функции не выходит за пределы Y, когда x изменяется в Х.

Если f(x) непрерывна в точке x0 и x, а φ(y) непрерывна в соотв. точках y0=f(x) и y, то и сложная функция φ(f(x)) будет непрерывна в точке x0.

Док-во:

ξ>0, так как φ(y) непрерывна при y=y0, то по ξ найдется такое Δ>0, что из |x-x0|<Δ следует |φ(y)-φ(y0)|<ξ

С другой стороны ввиду непрерывности f(x) при x=x0 по Δ найдется такое Δ>0, что из |x-x0|<Δ след. |f(x)-f(x0)|=|f(x)-y0|<Δ => |φ(f(x))-φ(y0)|=|φ(f(x))-φ(f(x0))|≤Δ след. φ(f(x)) непрерывная в точке x0.



 

Теоремы Больцмана-Коши

1. Теорема о нулях непрерывной функции:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a,b) и в точках а и b принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка с, для которой f(c)=0

Док-во:

I0=[a,b]

I1=[a,b1]

I2=[a1,b1]

I0 I1 I2

f(an)≤0, an→с

f(bn)≥0, bn→с

limn→∞f(an)≤0

limn→∞f(bn)≥0 => f(c)=0

2. Теорема о промежуточном значении

Если непрерывная функция f(x) в точке а и b принимает значение f(a)=A, и f(b)=B, то функция принимает все промежуточные значения от a до b.

Док-во:

С€(A,B)

g(x)=f(x)-C

g(a)=f(a)-C=A-C<0

g(b)=f(b)-C=B-C>0

g(c)=0 => f(c)=C

 

Теорема Вейерштрасса

об ограниченности непрерывной ф-ции.

O: Если функция f(x) определена на [a, b] и непрерывна, то она ограничена. m≤f(x)≤M

Док-во:

f(x) – не ограничена сверху, xn€[a, b]

f(xn)>n limn→∞f(xn)=∞

f(xn)>f(xn-1)

xn1 I0 I0 I1 I2

xn2 I1

xn3 I2 {xnk}

I3

о наименьшем и наибольшем значении функции.

f(x) x0 f(x)≤ f(x0) y0=f(x0) – наиб.

x0 f(x)≥ f(x0) y0=f(x0) – наим.

O: Если непрерывн. функция f(x) задана на отрезке [a, b], то она имеет и наибольшее и наименьшее значение.

f(x)<M =sup(точная верхняя граница)

f(x)=

g(x)=1/(M-f(x)) 1)g(x)>0 2) g(x)-непр.

Следств: непрерывн. функция заданная на отрезке принимает все значения от наименьшего до наибольшего.

Классификация разрывов.

Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в x0 или не является непрерывной в этой точке.

O: точка x0 называется точкой разрыва 1ого рода, если в этой точке f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. limxx0+0f(x)+ limxx0-0f(x)



Для выполнения этого опр. не требуется чтоб функция была определена в x= x0, достаточно того, что она опр. слева и справа от нее. Вывод: В точке разрыва 1ого рода функция может иметь только скачок. Точка 1ого рода – устранимая точка разрыва.

O: Точка x0 называется точкой разрыва 2ого рода, если в этой точке f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из бесконечен.

 

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!