Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Свойства пределов выражаемые равенствами



1. Предел постоянной числовой последовательности есть сама последовательность. limn→∞C=C

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела limCxn=C limxn

3. Предел суммы 2х числ. последовательностей равен сумме пределов

lim(xn+yn)=limxn+limyn

4. предел произведения 2х числ. послед. равен произведению пределов

lim(xnyn) =limxnlimyn

Док-во: x=limn→∞xn y=limn→∞yn, yn=y+βn xn=x+αn, αnn – БМВ

limxnlimyn=lim((x+αn)(y+βn))=lim(xy+xβn+ yαnnβn)=limxy+limxβn+limyαn+limαnβn=xy= limxnlimyn

5. lim(xn/yn) =limxn/limyn, limyn≠0

Свойства пределов выражаемые неравенствами

1) Tеорема о предельном переходе в неравенство: Пусть для всех хn, хn не превосходит yn, тогда предел хn не превосходит yn.

Док-во:

x=limn→∞хn, y=limn→∞yn

I x≤y II x>y – не выполн.

рассм II.

пусть x-y/2=ξ

ξ>0, сущ. Nξ(N||ξ), такое что для всех n>Nξ(n>N||ξ) и |хn-x|<ξ(|yn-y|<ξ). nξ=max N|ξ, N||ξ y<n

x-ξ< хn<x+ξ

y-ξ< yn <y+ξ x>y – не верно.

2) если f(x)>0 вблизи точки x=a и limxaf(x)=A, то А>0

3) если g(x)≤f(x)≤u(x) вблизи х=а, то и limf(x)=limg(x)=limu(x)=A

4) если ф-ция f(x) имеет конечный предел при х→а, то она ограничена вблизи точки х=а.

Док-во:

пусть limxaf(x)=A; т.е. |f(x)-A|<ξ, тогда

|f(x)|=|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A| или |f(x)|<ξ+|A|, т.е. |f(x)|<M, где M=ξ+|A|

 

6.Принцип вложения отрезков. Теорема о «2х милиционерах»

1. Множество, элементами которого явл. отрезки наз. системой отрезков.

2. Система замкнутых отрезков [an,bn] назыв. стягивающей если а) Vn[an+1,bn+1] [an,bn], т.е. каждый посл. отрезок расположен внутри предыдущего. б) bn-an→0, n→∞, т.е. длины отрезков стремятся к 0. в) для любой системы замкнутых стягивающих отрезков сущ. единств. точка, принадлежащая всем отрезкам. Док-во:

1. рассм. множество {an} левых концов наших отрезков. Очевидно что: а) an↑ б) сущ. n, an<b1 поэтому сущ. конечный limn→∞an

2. рассм. множество {bn} правых концов наших отрезков => a) bn ↓ б) сущ. n bn>a1, поэтому сущ. limn→∞bn

3. Т.к. по усл. limn→∞(bn-an)=0, то limn→∞bn- limn→∞an=0 => limn→∞an= limn→∞bn, обозначим этот общ. предел через с.



4. т.к. an↑ а bn ↓, то очевидно что сущ аn≤с≤b, т.е. точка С€[an,bn] (она принадлежит всем отрезкам сразу)

Теорема о «2х милиционерах»

Пусть имеется 3 числ. последовательности {хn},{yn},{zn} и между членами этих последовательностей выполняется неравенство: хn≤zn≤yn

тогда, если limn→0хn= limn→0yn, то limn→0zn существует.

P=limn→0хn= limn→0y => limn→0zn=P

Док-во:

Возьмем ξ>0, подберем n>N|, чтобы |хn-P|<ξ, n>N||, |yn-P|<ξ

теперь с учетом условия:

хn≤zn≤yn

P-ξ<yn<P+ξ

P-ξ<xn<P+ξ

P-ξ< хn≤zn≤yn<P+ξ, оно будет выполнятся для n>N = max {Nξ|, Nξ||}

|zn-P|<ξ – выполняется.

 

Определение предела функции

1) x R

f:x→R

Пусть x0 – предельная точка для множества X. Число А назыв. пределом функции f(x) в точке x0,если для любого ξ>0 найдется Δ окрестность точки x0(Vξ(x0)) такая, что для всех x≠x0 и принадл. пересеч. Δ окрестности с множеством X (x€Vξ(x0) X), выполняется неравенство: |f(x)-A|<ξ(только для конечной точки), f(x)€Vξ(A) f(x) принадлежит эпсилон окрестности точки А.

Определение предела по КОШИ:

2) x0-…х, то А – предел. Если последовательность xn→x0(xn≠x0) множество значений yn=f(xn)→А

Предел функции:

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D. Число а называется пределом ф-ции y=f(x) в точке x0 и пишут limf(x)= an, если для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такое что для любого x€D



0<|x-x0|<Δξ след нер-во |f(x)-a|<ξ

Критерий Коши:

Для того чтоб ф. y=f(x) имела предел в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такая что |f|(x)-f||(x)|<ξ, как только |x|- x0|<Δ(ξ) и |x||- x0|<Δξ. Говорят что число а есть предел функции y=f(x) при x, стремящимся к бесконечности и пишут limx→∞f(x)=а, если для любого ξ>0 сущ. число A(ξ)>0, такое что |f(x)-a|<ξ, как только |x|>A(ξ)

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!