Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Бесконечно малые и бесконечно большие величины



Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х→х0, если lim f(x)=0.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция.

Если функция a(x) бесконечно малая, то функция 1/a(x) бесконечно большая.

Если функция имеет предел lim f(x)=a, то её можно представить как сумму числа A и бесконечно малой функции: lim f(x)=A => f(x)=A+a(x)

 

Блочное суммирование. Примеры.

Предел функции. Классификация разрывов.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.

по Гейне: Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящихся к х0, последовательность соответствующих значений функции f(xn) сходится к числу А.

по Коши: Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любого положительного з найдётся такое положительное число ф, что для всех х!=х0, удовлетворяющих неравенству |x-x0|<=ф, выполняется неравенство |f(x)-A|<=з.

Если хотя бы одно из равенств lim f(x)(при х→х0+0)=limf(x)(при при х→х0-0)=f(x0) нарушается, то говорят о разрыве в (.) х0. Если f(x)(при х→х0+0)=limf(x)(при при х→х0-0)!=f(x0), то разрыв в (.) х0 называется устранимым. Если lim f(x)(при х→х0+0)!=limf(x)(при при х→х0-0), то говорят о скачке функции. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если предел равен бесконечности или не существует, то говорят о разрыве второго рода.

 

Непрерывность сложной функции.

Функция f(x) называется непрерывной в (.) а, если lim f(x)=f(a) при x→а, то есть

1) f(x) определена в (.) х0 и в её окрестности.

2) f(x) имеет предел при х→х0

3) предел функции в (.) х0 равен значению в этой точке.

Теорема. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема. Пусть функция u=v(x) непрерывна в (.)х0, а функция y=f(x) непрерывна в (.) u0=v(x). Тогда сложная функция f(v(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в (.) х0

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a,b], то обратная функция y=v(x) также непрерывна и монотонна на [c,d].

 

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.



Теорема Вейерштрасса.

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Следствие: Если функция непрерывна, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема Больцано-Коши.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах неравные значения, f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.

Следствие: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] найдётся хотя бы одна (.) с, в которой f(c)=0.

 

Равномерная непрерывность.

Равномерная непрерывность – это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках её области определения.

Функция называется равномерно непрерывной на подмножестве M X, если <0 >0 Q( Qy

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!