Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами



Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической или

алгебраической - формах.

Пусть мгновенная ЭДС задаётся уравнением:

. На комплексной плоскости вращающийся вектор:

 

.

Мгновенная фаза:

.

Мнимая составляющая комплексного числа вектора на комплексной плоскости определяет синусоидальное изменение ЭДС и обозначается символом Im.

. Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел

. Комплексное число Ėm, соответствующее положению вектора в начальный момент времени называют комплексной амплитудой:

. Комплексное число ej∙ω∙t является оператором поворота вектора на угол ω∙t относительно начального положения вектора.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака ? произведения комплекса амплитуды Ėm и оператора вращения ej∙ω∙t :

. Переход от одной формы записи, к другой, осуществляется с помощью формулы Эйлера: , где

- показательная (полярная) форма,

- тригонометрическая. Чтобы преобразовать в показательную:

, .

Применение комплексных чисел позволяет от геометрического сложения или вычитания векторов на векторной диаграмме перейти к алгебраическому действию над комплексными числами этих векторов.

Если гармонически изменяющаяся величина представлена в виде косинусоидальной функции времени:

то её мгновенное значение равно действительной части произведения комплексной амплитуды и оператора вращения.

2) Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица

На комплексной плоскости вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

3) Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней. Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в научных исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках —электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.



4) Модулем комплексного числа называется – длина вектора, изображающего комплексное число. Модуль комплексного числа обозначается , а также буквой r.

r= Угол между осью абцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число , называется аргументом комплексного числа Каждое неравное нулю комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов.

Резонанс токов

Рассмотрим теперь случай, когда у параллельно соединенных конденсатора и катушки оказались равными их реактивные сопротивления, т. е. XlL = XC.

Если мы, как и прежде, будем считать, что катушка и конденсатор не обладают активным сопротивлением, то при равенстве их реактивных сопротивлений (YL = YC) общий ток в неразветвленной части цепи окажется равным нулю, тогда как в ветвях будут протекать равные токи наибольшей величины. В цепи в этом случае наступает явление резонанса токов.

При резонансе токов действующие значения токов в каждом разветвлении, определяемые отношениями IL = U / XL и IC = U / XC будут равны между собой, так XL = ХC.

При резонансе токов, как и при резонансе напряжений, происходит колебание энергии между полем катушки и полем конденсатора. Генератор, сообщив однажды энергию цепи, оказывается как бы изолированным.



Значения L, С и f, при которых наступает резонанс токов, определяются, как и при резонансе напряжений (если пренебречь активным сопротивлением контура), из равенства:

ωL = 1 / ωC Следовательно: fрез = 1 / 2π√LC , Lрез = 1 / ω2С, Срез = 1 / ω2L

Изменяя любую из этих трех величин, можно добиться равенства Xl = Xc, т. е. превратить цепь в колебательный контур.

Итак, мы получили замкнутый колебательный контур, в котором можно вызвать электрические колебания, т. е. переменный ток. И если бы не активное сопротивление, которым обладает всякий колебательный контур, в нем непрерывно мог бы существовать переменный ток. Наличие же активного сопротивления приводит к тому, что колебания в контуре постепенно затухают и, чтобы поддержать их, необходим источник энергии - генератор переменного тока.

В цепях несинусоидального тока резонансные режимы возможны для различных гармоничных составляющих. Угловая частота w0, при которой наступает резонанс, называется резонансной, или собственной частотой колебаний резонансного контура.

Билет №23.

1.1)Алгебраическая форма Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Тригонометрическая форма

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то комплексное число можно записать в тригонометрической форме

).


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!