Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Гармонические колебания в линейных электрических цепях



 

 

Разработал студент гр.РТ-071зу      
  Подпись, дата Инициалы, Фамилия
   
Руководитель А.В. Останков
  Подпись, дата Инициалы, Фамилия
Члены комиссии А.В. Останков
  Подпись, дата Инициалы, Фамилия
   
  Подпись, дата Инициалы, Фамилия
   
  Подпись, дата Инициалы, Фамилия
Нормоконтролер А.В. Останков
  Подпись, дата Инициалы, Фамилия

 

Защищена_____________________ Оценка______________________________

дата

 

 

Замечания руководителя


Содержание

Введение
1 Расчет токов и напряжений в цепи при заданном гармоническом воздействии  
2 Векторная диаграмма токов и напряжений в цепи. Проверка выполнения законов Кирхгофа  
3 Расчет частотных характеристик цепи
4 Проверка основных расчетных результатов посредством имитационного моделирования  
Заключение
Список литературы
Приложение 1
Приложение 2

 


Введение

 

Работая инженером, постоянно в своей практике встречаю задачи связанные с необходимостью проведения анализа линейных электрических цепей и расчета их частотных характеристик, а так же экспериментального исследования процессов, проходящих в линейных цепях.

Для закрепления имеющихся практических навыков и приобретения новых, считаю целесообразным выполнение данной курсовой работы.

Цель работы:

- приобретение практических навыков численного анализа линейных электрических цепей методом комплексных амплитуд;

- освоение методики аналитического и численного расчета частотных характеристик линейных электрических цепей;

- выработка навыков имитационного и экспериментального исследования процессов в линейных цепях.


1 Расчет токов и напряжений в цепи при заданном гармоническом воздействии

 

Изобразим схему заданной цепи с подключенным к входу реальным источником напряжения (рисунок 1). В цепях с одним источником сигнала токи и напряжения можно определить с помощью закона Ома.



 

Рисунок 1 - Схема цепи

 

Последовательно пронумеруем однотипные элементы цепи. Обозначим токи во всех ветвях и напряжения на всех элементах, зададим их условные положительные направления (рисунок 2).

 

Рисунок 2

Затем перейдем к комплексной схеме замещения цепи, заменив все пассивные элементы комплексными сопротивлениями, все токи и напряжения их комплексными амплитудами (рисунок 3).

 

Рисунок 3 - Комплексная схема замещения цепи

 

Используя закон Ома в комплексной форме [2], произведем аналитический, а затем и численный расчет комплексных амплитуд искомых токов и напряжений.

Аналитический расчет предполагает вывод формул для комплексных амплитуд искомых колебаний, численный – непосредственный расчет по полученным формулам.

Так комплексную амплитуду полного тока в цепи найдем как

где - комплексная амплитуда ЭДС источника, - эквивалентное комплексное сопротивление цепи: .

 

Далее при заданной временной зависимости и с учетом приведенных в техническом задании исходных данных, находим комплексную амплитуду мВ, а затем определяем комплексное сопротивление каждого из элементов:

кОм, кОм, кОм,

получаем:

кОм.

мкА.

Численный расчет комплексных сопротивлений, токов и напряжений произведен с помощью системы компьютерной математики MathCAD [3] и представлен в приложении 1 в конце пояснительной записки.

Отметим, что т.к. соединение элементов последовательное. Далее определяем по найденной комплексной амплитуде тока и известным комплексным сопротивлениям комплексные амплитуды напряжений :

мВ,

мВ,

мВ,

мВ.

Теперь, зная найдем комплексные амплитуды токов (комплексные амплитуды напряжений и равны, т.к. элементы соединены параллельно, заменив комплексные сопротивления и эквивалентным сопротивлением определим и ):



мкА,

мкА,

мкА.

Можно найти комплексные амплитуды напряжений и по известной комплексной амплитуде тока , которой, кроме того, будет равна и амплитуда , в связи с последовательным соединением элементов, они будут равны:

мВ,

мВ.

Проверку правильности результатов расчета проведем с использованием первого и второго законов Кирхгофа [2] :

первый закон для токов в узле

,

второй закон для напряжений в контурах

Вычисления проверки законов Кирхгофа в пакете MathCAD показаны в приложении 1.

Далее рассчитаем амплитуды и начальные фазы токов и напряжений. Амплитуда будет равна модулю комплексного числа. В нашем случае комплексными числами будут являться найденные выше комплексные амплитуды токов и напряжений. Вычисления проведем, используя формулу известную из математики , где и соответственно действительная и мнимая части комплексного числа.

 

Амплитуды токов:

мкА,

мкА,

мкА,

мкА;

Амплитуды напряжений:

мВ,

мВ,

мВ,

мВ,

мВ,

мВ.

Начальные фазы токов и напряжений найдем как аргумент комплексного числа по формуле и представим в градусах:

начальные фазы токов

,

,

,

;

начальные фазы напряжений

,

,

,

,

,

.

Результаты расчета сведем в таблицу 1.

 

Таблица 1 – Результаты расчета гармонических токов и напряжений в цепи

Элемент Комплексная амплитуда
Напряжения на элементе: тока через элемент:
обозначение амплитуда, мВ начальная фаза, º обозначение амплитуда, мкА начальная фаза, º
28,1 89,6 28,1
28,1 89,6 28,1
-26,9 28,0 -26,9
-3 25,6 -3
-61,9 89,6 28,1
-26,9 63,0 63,1
-93 25,6 -3

 

Итак, по результатам расчета видно, что на сопротивлениях напряжение и ток синфазные, т.к. сопротивление не вносит сдвига фаз, на емкостях ток опережает по фазе напряжение емкости на 90º.


2 Векторная диаграмма токов и напряжений в цепи. Проверка выполнения законов Кирхгофа

 

По данным таблицы 1 построим векторные диаграммы сначала для токов проходящих через узел (первый закон Кирхгофа), затем для ЭДС и падений напряжений в контуре (второй закон Кирхгофа).

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Для нашей цепи имеем уравнение:

.

Воспользуемся системой графического моделирования «Компас». Начнем с того, что зададим масштаб для векторов токов и напряжений. Так для токов возьмем 1 см = 10 мкА, а для напряжений 1 см = 100 мВ. Сначала построим вектор тока с амплитудой мкА и начальной фазой , для чего на инструментальной панели системы проектирования «Компас» выберем команду «отрезок», укажем на поле фрагмента любую точку, затем в панели свойств зададим значение длины отрезка, равное амплитуде выбранного тока с учетом взятого масштаба, а угол наклона отрезка равный значению начальной фазы тока, создадим отрезок. Добавим к концу отрезка стрелочку и получится вектор тока . Затем аналогичным способом начертим вектор напряжения . Векторы напряжений и токов на элементах целесообразно показать исходящими из одних и тех же точек. Видно, что ток, протекая через емкость, опережает по фазе напряжение емкости на 90º. Следующим построим вектор тока исходящим из конца вектора , затем вектор напряжения , который будет направлен, так же как и вектор тока, так как сопротивление не вносит сдвига фаз между током и напряжением и т.д. Последним построим вектор входящего в узел тока , который будет равняться сумме векторов , , , что графически подтверждает выполнение первого закона Кирхгофа, и сонаправленный с ним вектор напряжения (рисунок 4).

 

Рисунок 4 – Векторная диаграмма выполнения первого закона Кирхгофа в узлах цепи

 

Проведем графическую проверку второго закона Кирхгофа, используя те же методы. В рассматриваемой цепи наибольший интерес представляют два контура. Топологические уравнения которых будут иметь вид:

,

.

Проверку начнем с построения вектора напряжения и тока , затем, обходя контур по часовой стрелке, построим векторы всех напряжений и токов, входящих в контур. Последним построим вектор с из точки начала вектора , конец совпадет с концом вектора , что графически подтверждает выполнение второго закона Кирхгофа для первого контура. Во втором контуре из точки конца вектора отложим вектор , которые будут направлены в одну сторону и равны по амплитуде. Из его начала отложим вектор , из конца которого построим вектор , конец которого совпадет с концом вектора , что в свою очередь подтверждает правильность расчета и выполнение второго закона Кирхгофа (рисунок 5).


Рисунок 5 - Векторная диаграмма выполнения второго закона Кирхгофа в контурах цепи


3 Расчет частотных характеристик цепи

 

Первоочередная задача расчета частотных характеристик – получить аналитическое выражение для комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению, по которому в дальнейшем рассчитываются АЧХ и ФЧХ цепи.

Поскольку частотные свойства цепи не зависят от типа источника электрической энергии, подключенного к ее входу, а определяются лишь частотными свойствами элементов и топологией цепи, полагаем, что на входе по прежнему действует исходный источник напряжения, частота колебаний которого теперь может быть установлена любой (рисунок 6).

 

 

Рисунок 6 - Комплексная схема замещения цепи

 

Комплексный коэффициент передачи цепи рассчитывается по формуле:

,

где и - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений в установившемся режиме. Используя комплексную схему замещения цепи, выразим комплексные амплитуды и через комплексную амплитуду входного тока . Получаем согласно закона Ома:

,

,

где и можно связать соотношением характерным для делителя напряжения:

.

Тогда комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению

,

а с учетом , и дальнейшего преобразования, выполненного в пакете MathCAD и показанного в приложении 2, получим

.

Далее представим полученное выражение в показательной форме комплексного числа

Тогда модуль определяет АЧХ цепи [2]:

,

аргумент – ФЧХ цепи:

.

Располагая формулами АЧХ и ФЧХ, рассчитаем с помощью пакета MathCAD частотные характеристики цепи в широком интервале частот [3]. Результаты отразим в таблице 2:

 

Таблица 2 - Выборочные значения АЧХ и ФЧХ цепи

Частота , кГц 0,8
АЧХ 0,037 0,089 0,154 0,25 0,245 0,223 0,188 0,166 0,099
ФЧХ 81,4 69,1 1,7 -12 -27 -41,1 -48,4 -66,8

 

По результатам вычислений построим графики зависимости АЧХ и ФЧХ от частоты в широком интервале частот от 1 до 300000 Гц (рисунок 7, 8).

Найдем по графику АЧХ полосу пропускания полосового фильтра, то есть диапазон частот, внутри которого АЧХ уменьшается не более чем в раз или на 3 дБ относительно максимального значения [2]. Определим граничные частоты полосы пропускания так называемые частоты среза. Для чего сначала найдем значение АЧХ на границе полосы пропускания мВ. Затем по графику определим частоты среза 5,04 кГц, 89,1 кГц. Тогда расчетная полоса пропускания равна: , кГц. Полоса пропускания характеризует частотный диапазон, в котором ФНЧ выполняет заданные функции передачи сигнала.

Рисунок 7 - График зависимости АЧХ цепи от частоты

 

 

Рисунок 8 - График зависимости ФЧХ цепи от частоты


4 Проверка основных расчетных результатов посредством имитационного моделирования

 

Для проведения проверки основных расчетных результатов посредством имитационного моделирования необходимо воспользоваться схемотехническим симулятором. Наиболее распространенным и простым в использовании является схемотехнический симулятор «Electronics Workbench» [4]. Кроме того, ранее этот симулятор использовался мной при выполнении лабораторных работ.

Изобразим схему цепи в симуляторе, задействовав идеализированные модели элементов. Ко входу подключим источник напряжения. Его параметр «Voltage» установим равным 0,707 В, что соответствует действующему значению требуемого напряжения (амплитуда колебаний при этом составит 1 В). Параметр Frequency = 47,746 кГц. Параметр Phase установим 90º (рисунок 9).

Измерения проведем посредством двухлучевого цифрового осциллографа, подключенного одним концом ко входу, а вторым к выходу цепи (рисунок 9).

 

Рисунок 9

 

Запустив симулятор, получим осциллограммы сигналов входного и выходного напряжений (рисунок 10). АЧХ и ФЧХ цепи можно рассчитать по измеренным значениям амплитуд напряжений или измерить по графикам в симуляторе.

Так АЧХ на установившейся частоте будет равно:

.

Найдем ФЧХ. Измерим в установившемся режиме сдвиг во времени мс (рисунок 10). Из рисунка 10 видно, что напряжение на выходе запаздывает по фазе, значит абсолютное значение сдвига фаз на установившейся частоте будет со знаком минус.

 

 

Рисунок 10

Далее измерим период колебаний мс (рисунок 11).

 

 

Рисунок 11

 

Абсолютное значение сдвига фаз на заданной частоте можно вычислить по формуле учитывая знак получим .

Таким способом необходимо рассчитать значения АЧХ и ФЧХ в нескольких значениях частоты, достаточных для качественного построения графиков. Другой, более удобный способ, показан на рисунке 12, где посредством встроенных приложений симулятора «Electronics Workbench» автоматически строятся графики АЧХ и ФЧХ цепи, по которым с помощью подвижных меток снимаются значения АЧХ и ФЧХ в любых точках заданного диапазона частот. Найдем значение АЧХ на границе полосы пропускания для чего измеренное максимальное значение разделим на , получим: .

Измерим полосу пропускания полосового фильтра (рисунок 12). Для чего, по графику определим частоты среза 4,08 кГц, 89,5 кГц. Получим измеренное значение кГц.

 

 

Рисунок 12


Заключение

 

В ходе выполнения курсовой работы был проведен численный расчет амплитуд и начальных фаз токов во всех ветвях цепи и напряжений на всех элементах методом комплексных амплитуд. Результаты расчета представлены в таблице 1. Построены векторная диаграмма токов в узле цепи (рисунок 4) и напряжений в контурах (рисунок 5). Проведена проверка первого и второго законов Кирхгофа для всех узлов и контуров схемы цепи.

Получены аналитические выражения для комплексного коэффициента передачи цепи:

,

амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) цепи:

,

и фазо-частотной (ФЧХ) характеристики цепи:

.

Посредством пакета программ «MathCAD» рассчитаны численные значения АЧХ и ФЧХ цепи на большом интервале частот (0...300 кГц), выборочные результаты расчета отображены в таблице 2. Построены и проанализированы их графики (рисунок 7,8). Определены граничные частоты полосы пропускания: 5,04 кГц, 89,1 кГц.

Методом имитационного моделирования в схемотехническом симуляторе «Electronics Workbench» проверены результаты, полученные расчетным путем: 4,08 кГц, 89,5 кГц, получили измеренное значение полосы пропускания кГц, близкое по значению к расчетному кГц.

Экспериментально проверили (измерили) расчетные АЧХ и ФЧХ цепи (рисунок 12), получили значения близкие к ним. Это означает, что расчеты проведены верно. Задание выполнено полностью, в соответствии с техническим заданием руководителя. Пояснительная записка оформлена в соответствии с требованиями [5].

Приложение1

Исходные данные
Сопротивления элементов
Эквивалентные сопротивления элементов цепи
Токи и напряжения
Проверка законов Кирхгофа
Первый закон
Второй закон

 

 

 

 

Амплитуды и начальные фазы токов и напряжений

 

 


Приложение 2

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!