Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Лекция 17. Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы



Теория механических колебаний имеет многозначисленные и весьма разнообразные приложения едва ли не во всех областях техники. Независимо от назначения и конструктивного решения различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим закономерностям, изучение которых и составляет предмет теории колебаний упругих систем. Наиболее полно разработана линейная теория колебаний. Теория колебаний систем с несколькими степенями свободы была дана еще в XVIII веке Лагранжем в его классическом труде "Аналитическая механика".

Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - с 19-летнего возраста профессор математики в Турине. С 1759 года - член, а с 1766 года - президент Берлинской Академии наук; с 1787 года жил в Париже. В 1776 году был избран почетным иностранным членом Петербургской Академии наук.

В конце XIX века Рэлеем были заложены основы линейной теории колебаний систем с бесконечной степенью степеней свободы (т.е. с непрерывным распределением массы по всему объему деформируемой системы). В XX веке линейная теория, можно сказать, была завершена (метод Бубнова-Галеркина, который позволяет с помощью последовательных приближений определять также высшие частоты колебаниий).

Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей) (1842 - 1919) - английский физик, автор ряда работ по теории колебаний.

Иван Григорьевич Бубнов (1872 - 1919) - один из основоположников строительной механики корабля. Профессор Петербургского политехнического института, с 1910 года - Морской академии.

Борис Григорьевич Галеркин (1871- 1945) - профессор Ленинградского политехнического института.

Формула Рэлея наиболее популярна в теории колебаний и устойчивости упругих систем. Идея, лежащая в основе вывода формулы Рэлея, сводится к следующему. При моногармонических (однотонных) свободных колебаниях упругой системы с частотой w, перемещения ее точек совершаются во времени по гармоническому закону:

где ¦1(x,y,z), ¦2(x,y,z), ¦3(x,y,z) - функции пространственных координат точки, определяющие рассматриваемую форму колебаний (амплитудную).

Если эти функции известны, то частоту w свободных колебаний можно найти из условия постоянства суммы кинетической и потенциальной энергии тела. Это условие приводит к уравнению, содержащему лишь одну неизвестную величину w.

Однако указанные функции заранее неизвестны. Руководящая идея метода Рэлея состоит в том, чтобы задаваться этими функциями, сообразуя их выбор с граничными условиями и ожидаемой формой колебаний.



Подробнее рассмотрим реализацию этой идеи для плоских изгибных колебаний стержня, форма колебаний описывается функцией ¦=¦(x). Свободные колебания описываются зависимостью

(1)

потенциальная энергия изогнутого стержня

(2)

кинетическая энергия

(3)

 

где l - длина стержня, m=m(x) интенсивность распределенной массы стержня;

- кривизна изогнутой оси стержня; - скорость поперечных колебаний.

 

Учитывая (1)

.

Тогда

(4)

(5)

С течением времени каждая из этих величин непрерывно меняется, но, согласно закону сохранения энергии их сумма остается постоянной, т.е.

(6)

или подставляя сюда выражения (4), (5)

(7)

Отсюда следует формула Рэлея:

(8)

 

Если со стержнем с распределенной массой m, связаны сосредоточенные грузы с массами Mi, то формула Рэлея приобретает вид:

 
 


(9)

 

Как относиться к этой формуле - считать ее точной или приближенной?

Весь ход вывода показывает, что в рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствия неупругих сопротивлений) эта формула точная, если ¦(x) - истинная форма колебаний. Однако функция ¦(x) заранее неизвестна. Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти собственную частоту w, задаваясь формой колебаний ¦(x). При этом в решение вностися более или менее серьезный элемент приближенности. По этой причине формулу Рэлея иногда называют приближенной.

 

Пример:

 

y

m=cosnt Примем в качестве формы колебаний функцию: ¦(x)=ax2, которая удовлетворяет кинематическим граничным условиям задачи.

x

EI

 

l

 

 

Определяем:

По формуле (8)

.

Этот результат значительно отличается от точного



.

 

Более точной является формула Граммеля, которая до сих пор еще не стала такой популярной, как формула Рэлея (возможно, вследствие своей относительной "молодости" - она предложена в 1939 году).

Снова остановимся на той же задаче о свободных изгибных колебаниях стержня.

Пусть ¦(x) - задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность максимальных сил инерции определяется выражением mw2¦, где по прежнему m=m(x) - интенсивность распределенной массы стержня; w2 - квадрат собственной частоты. Эти силы достигают указанного значения в тот момент, когда прогибы максимальны, т.е. определяются функцией ¦(x).

Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии изгиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции:

. (10)

Здесь - изгибающие моменты, вызываемые нагрузкой mw2¦. Обозначим изг - изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой m¦, т.е. в w2 раз меньший, чем силы инерции.

Тогда:

, (11)

 

и выражение (10) можно записать в виде:

. (12)

Наибольшая кинетическая энергия, как и выше

. (13)

Приравнивая выражения (12) и (13) приходим к формуле Граммеля:

 

(14)

 

Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией ¦(x). После этого определяется условная нагрузка m¦=m(x)¦(x) и записываются выражения изг вызываемые условной нагрузкой m¦. По формуле (14) определяют частоту собственных колебаний системы w .

Пример: (рассматриваем предыдущий)

Условная нагрузка: m(x)=m=const; ¦(x)=ax2

y

m(x)·¦(x)=max2

 
 

 

 


x

EI

 

l

 

 

Находим:

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!