Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Лекция 8. Понятие о расчете на устойчивость круговых арок постоянного сечения



1. Вывод дифференциального уравнения кругового бруса

dS dS - длина элемента mn до деформации,

n R - радиус кривизны

m W+dW m1n2 положение элемента mn после

W деформации.

V+dV

V

 

R dQ

 

O

 

Обозначим проекции перемещения точек m и n через: V - проекцию перемещения на касательную и W - проекцию перемещения на радиус.

 

Определим относительную деформацию элемента dS. Для этого воспользуемся принципом наложения и будем определять отдельно деформацию элемента от перемещений W и V.

 

1) W = 0

V+dV

V

 

m m1 n n1

 

 

dQ

 

 

O

 

Абсолютная деформация элемента dS равна dV, а относительная деформация

(1)


 

2) V = 0. Бесконечно малой величиной dW пренебрегаем

 

dS до деформации

n dS = Rdq

m W после деформации

n1

m1

 

R dQ

 

 

O

Абсолютная деформация элемента dS

Относительная деформация:

, (2)

т.к. dS = RdJ.

 

Полная относительная деформация элемента:

(3)

Кривизна элемента до деформации

dS = Rdq Þ

 

Определим изменение элемента за счет его деформации. Углы поворота касательных, проведенных к точке m:

 

1) W = 0

a

 

m m1 n n1

V V+dV

 

R

 
 


a

 

O

 


 

2) V = 0

в этом случае пренебречь

величиной dW нельзя

n

m

W b W+dW

 

m1 n1 Заштрихованный треугольник ввиду

малых величин можно считать

прямолинейным, тогда:

R

O

Суммарный угол поворота касательной

(4)

Изменения кривизны деформированного элемента:

Продифференцируем выражение (4):

(5)

 

Пренебрегая удлинением элемента dS, т.е. e = 0, из уравнения (3) имеем:

подставляя это значение в (5) и .

 

(6)

 

Из сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса:

(7)

подставив (7) в (6) получим дифференциальное уравнение кривого бруса:

или

 
 


(8)

 


 

2. Устойчивость кругового кольца при радиальной нагрузке

 
 

 

 


y q - интенсивность равномерно

K распределенной радиальной

нагрузки.

W K1

q

 

x

R

 

 

При q < qкр кольцо сохраняет первоначальную форму равновесия и в нем возникают только продольные усилия сжатия.

При q ³ qкр кольцо теряет устойчивую форму равновесия, приобретая овальную форму и в нем, наряду с продольными усилиями появляются изгибающие моменты.



Рассмотрим элемент dS до потери устойчивости:

 

y

q dS

N N

ввиду малости угла q

dQ

О

 

 

тогда

, dS = Rdq

;

 
 


(а)

 

После потери устойчивости точка К переместится в точку К1, прогиб стенки кольца составляет W. В деформированном состоянии продольная сила вызывает в кольце изгибающий момент:

Подставим это значение момента в дифференциальное уравнение бруса (8):

,

или

(б)

Обозначим

(с)

 

(d)

 

Решение этого однородного дифференциального уравнения запишется:

(е)

 

Значение коэффициентов С1 и С2 найдем из граничных условий:

учитывая, что на осях симметрии W’=0

1) при q= 0

0 = С1К; С1 = 0

 

2) при

С2 = 0; К = 0

 

Следовательно , а это возможно при :

1) К = 0 - противоречит условию задачи (см. выше)

2) К=2, sin p = 0.

 

Из выражения (с) получаем

,

 
 


отсюда (f)


 

3. Устойчивость двухшарнирной круговой арки

 

Рассмотрим круговую арку загруженную равномерно распределенной радиальной нагрузкой q.

 

q

 

 

A B

Q

a R


O

 

Дифференциальное уравнение кривого бруса по аналогии с кольцом

, где

Решение его:

,

где q - угол изменяющийся от 0 до a.

Граничные условия задачи:

1) при q = 0 W = 0;

0 = С2

2) при q = a W = 0;

0 = C1 sin Ka; C1 ¹ 0

Следовательно sin Ka =0

; ; ;

;

 

 

Лекция 9. Устойчивость составных стержней (сквозных колонн)

 

Составные стержни, состоящие из отдельных ветвей, связанных планками или решеткой, обладают меньшей жесткостью, чем сплошные. Решетка воспринимает действие поперечных сил, влияние которых необходимо учитывать наряду с изгибающими моментами.




 

x

P P

 

 

Q dx

 

 

l 1 1 dx dx g

y

 

Q

b

 

1- 1

 

 

М = Ру, потенциальная энергия изгиба:

(1)

Работа поперечных сил:

где dS = g dx

Относительный сдвиг при действии Q=1 обозначим через g1, тогда g = Q·g1

 

Потенциальная энергия, равная работе поперечных сил:

если учесть, что то

(2)

Работа внешних сил:

, (3)

где

из выражения:

Uм + UQ = A,

получим:

или

 

Принимаем, что в момент потери устойчивости стержень искривляется по синусоиде которая удовлетворяет граничным условиям задачи:

1) при х = 0; у = 0

2) при у = 0.

Тогда:

 

в результате получаем:

 

отсюда:

 

 

умножим числитель и знаменатель на EJ

Обозначим

 
 


(4)

 

 
 


(5)

 

Чтобы определить значение коэффициента m необходимо знать g1, которое зависит от типа соединения отдельных ветвей стойки.

Рассмотрим стойку с ветвями соединенными решеткой

 

 

Q=1 »a пусть длина раскоса d

k k1

a d g1 Dd

a n

m Q=1 поперечную силу воспринимает на себя

раскос, удлинение которого:

b

 

, где Np, Fp - соответственно усилие и площадь сечения раскоса

 

длина раскоса

,

тогда

,

 

кроме того Dd = KK1 · cosa

 

или:

 
 


(6)

 

Рассмотрим стойку с ветвями соединенными планками

 

в точках n и n1 изгибающие

моменты = 0, действуют

только поперечные силы


b/2

b n n1

 

b/2

 

Q=1

½ 1/2

n n1

 

g1 b/2

 

b/2

 

 

½ 1/2

Q=1

 

(7)

ymax=nn1

 

1/2 Mp M`p`

 
 

 

 


b/2

 

b/4 b/2

или

 
 


 

где Jв - момент инерции одной ветви колонны.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!