Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Лекция 2. Метод конечных элементов в расчетах плоских стержневых систем



Рассмотрение упругих систем вообще и плоских стержневых систем в частности с позиций МКЭ есть представление упругих систем в виде набора элементов с конечным числом степеней свободы, которые соединяются между собой в узловых точках (узлах). Такое представление заданной системы в виде дискретной модели приводит к полной формализации всех этапов расчета. Подход к решению задачи является единым, как для стержневых систем, так и для пластин, оболочек, объемных тел и т.п.

Рассматривать будем МКЭ разработанный на базе метода перемещений, применительно к расчету плоских стержневых систем.

При расчете плоских стержневых систем в МКЭ приняты те же гипотезы, что и в обычном методе перемещений. Несколько уточняется только одна гипотеза: в МКЭ будем учитывать влияние не только изгибных, но и влияние продольных деформаций на перемещения узловых точек сооружения. Т.е. длина стержня в результате деформаций растяжения-сжатия может изменяться. Это положение позволяет в большей степени формализовать выбор основной системы МКЭ и получить результаты расчета более точные, чем в обычном методе перемещений.

Расчет стержневых систем, как и любых других, в МКЭ начинают с разбиения заданной системы на отдельные элементы.

В качестве конечных элементов (КЭ) мы будем рассматривать прямолинейные стержни, имеющие постоянную жесткость по длине. Между собой КЭ могут соединяться жестко или с помощью шарнира. Точки соединения элементов в МКЭ называют узловыми или узлами.

Т.е. основную систему (дискретную модель) МКЭ получают, разбивая заданную систему на отдельные прямолинейные элементы, имеющие постоянную жесткость по длине. При наличии в системе криволинейных стержней или стержней с переменной жесткостью, их, с достаточной степенью точности, разбивают на участки, в пределах которых стержни считают прямолинейными, с усредненной постоянной жесткостью.

Кроме того, алгоритм МКЭ требует, чтобы все внешние нагрузки, действующие на сооружение, были приложены к узловым точкам ее дискретной модели. Поэтому, точки приложения сосредоточенных сил делают узловыми, а нагрузки распределенные по длине стержня, преобразуют к узловым.

Для преобразования вне узловой нагрузки к узловой используют таблицы метода перемещений (см. рис. б).

 
 

В узлах, где отдельные элементы соединяются между собой жестко, имеется три неизвестных перемещения, в шарнирных узлах – два. Следовательно, количество неизвестных МКЭ можно определить:



n = 3nж.уз. + 2nш.уз .

 
 

Положительные направления и порядок нумерации неизвестных принимаем следующий

 

       
 
   
 

Дискретная модель сооружения в целом, которая связывается с общей системой осей координат, характеризуется n параметрами перемещений Zi и узловых силовых воздействий Pi , составляющих векторы

 

Каждый конечный элемент связан с местной системой осей координат и характеризуется своими параметрами узловых перемещений {V} и соответствующими узловыми усилиями {S}’. Кроме того, для элементов, в пределах которых вне узловая нагрузка преобразуется к узловой, формируют векторы грузовых усилий {So}.

В разрешающем уравнении МКЭ

[r]{Z}={P},

матрица [r], которая называется матрицей жесткости сооружения в целом, формируется из матриц жесткости отдельных элементов.


 

Матрица жесткости КЭ в местной системе осей координат

Матрица жесткости КЭ в местной системе осей координат [r]jустанавливает связь между единичными перемещениями и усилиями в узловых точках, для горизонтально расположенного элемента.

Как уже отмечалось, основная система МКЭ представляет собой совокупность отдельных стержней, которые соединяются между собой жестко или с помощью шарнира.

Следовательно, все многообразие КЭ можно свести к трем типам элементов:

 
 

а) элемент с двух сторон ограниченный жесткими узлами, такой элемент имеет шесть степеней свободы, т.е. неизвестными являются шесть возможных перемещений узловых точек элемента

 
 

б) элемент с одной стороны ограниченный жестким узлом, а с другой шарнирным, такой элемент имеет пять степеней свободы

 
 

г) элемент с двух сторон ограниченный шарнирными узлами, такой элемент имеет четыре степени свободы



Рассмотрим формирование матриц жесткости для показанных выше трех типов КЭ, в местной системе осей координат.

Для элемента с шестью степенями свободы (тип а) матрица жесткости будет иметь вид

[r]j=

где r12 - реактивное усилие в связи 1 от единичного перемещения связи 2 и т.д.

В блочном виде матрица [r]jэ будет иметь вид

 

[r]j=

где rнк - блок реакций в связях, наложенных на начальный узел, от единичных перемещений связей, наложенных на конечный узел КЭ и т.д.

 

Численные значения реакций будем определять используя таблицы метода перемещений. Знак реакций будет положительным, если направление реакций совпадает с положительным направлением перемещений Vj.

 

 
 

1.Формирование матрицы жесткости для элемента с шестью степенями свободы (тип а)

Зададим последовательно единичные перемещения связям V1=1, V2=1...V6=1.

 
 

1) V1=1

В соответствие с законом Гука

Dl = Dl = V1 = 1, N =

 

 
 

2) V2=1

 

 
 

3) V3=1

 

 

и т.д. задаем V4 = 1, V5 = 1, V6 = 1

 

Расставляя реакции в соответствующие ячейки, получим матрицу жесткости для элемента с шестью степенями свободы

 

[r]j =

 

Запишем матрицы жесткости для двух других типов элементов, формируя их аналогично предыдущей.

2. Матрица жесткости для элемента с пятью степенями свободы (тип б) будет иметь вид

 

[r]j =

 

3. Матрица жесткости для элемента с четырьмя степенями свободы (тип в) запишется

 

[r]j =

 

Лекция 3. Матрица преобразований (направляющих косинусов)

Рассмотрим теперь КЭ в составе рамы, расположенный под углом a к оси Х в общей системе осей координат.

Необходимо перейти от матрицы реакций [r]j в местной системе осей координат к матрице [r] в общей системе координат.


Задачу решаем следующим образом. В начале построим матрицу [c]j, которая преобразует перемещения КЭ {z}j в общей системе осей координат в перемещения {v}j, по выражению

{v}j = [c]j {z}j

 

V1 = Z1 cosa + Z2 sina

V2 = -Z1 sina + Z2 cosa

V3 = Z3

V6 = Z6

V4 = Z4 cosa + Z5 sina

V5 = -Z4 sina + Z5 cosa

 

В матричной форме приведенная выше запись будет иметь вид

 

 

или в блочной форме

[c]j =

 

где для жесткого узла

[c]н,к =

для шарнирного узла

[c]н,к =

Так как мы рассматриваем плоские упругие системы, то векторы узловых усилий и узловых перемещений, как для отдельного элемента, так и для сооружения в целом, связаны между собой линейно

{S}j = [r]j{V}j - в местной системе осей координат.

{S}j = [r]j {Z}j - в общей системе осей координат

Кроме того

{V}j = [c]j{Z}j,

Аналогично

{S}j = [c]j{S}j,

где {S},{S}-узловые усилия КЭ соответственно, в местной и общей системах осей координат.

Тогда

{S}j = [c]j-1 {S}j = [c]j-1[r]j{V}j = [c]j-1[r]j[c]j{Z}j.

Для матрицы направляющих косинусов выполняется равенство

[c]j-1 = [c]jT,

Тогда

{S}j = [c]jT [r]j [c]j{Z}.

Обозначим

[r]j = [c]jT [r]j [c]j - это выражение и является формулой для вычисления матрицы жесткости КЭ в общей системе осей координат.

При формировании матриц жесткости отдельных элементов [r]j должны быть зафиксированы начало и конец каждого стержня, так как от этого зависит знак угла a, определяющего ориентацию стержня в общей системе осей координат ХОY.

 

Матрица жесткости для сооружения в целом

 

Рассмотрим теперь как формируется матрица жесткости для сооружения в целом, когда имеются матрицы жесткости для всех отдельных элементов.

 
 

Пусть задана какая-либо стержневая система

Все узлы будем считать жесткими, т.е. с каждым из них связано по 3 возможных перемещения.

Матрицу жесткости для всего сооружения покажем в блочном виде, с размерами блоков 3x3, т.к. с каждым узлом связано по 3 возможных перемещения (горизонтальное, вертикальное и поворот узла).

 

здесь r12 - первый индекс указывает номер узла, в котором возникает блок реакций,а второй - номер узла, смещением которого эти реакции вызваны. Нулевые блоки обозначают, что соответствующие узлы не связаны непосредственно стержнем и прямо не взаимодействуют, т.е. не передают реакции с узла в узел.

Общая матрица жесткости [r] получается путем суммирования соответствующих блоков матриц жесткости отдельных стержней.

Например, первая строка блочной матрицы [r] получена путем суммирования блоков матриц жесткости отдельных элементов

r11 = r111+r112, r12 = r121, r14 = r143 и т.д.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!