Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Лекция №22. Упрощения канонических уравнений метода сил при расчете симметричных рам



Основная трудность применения метода сил при расчете рам, имеющих большую степень статической неопределимости, связана с определением коэффициентов и решением системы канонических уравнений. При расчете симметричных рам, имеется ряд приемов, позволяющих часть побочных коэффициентов dik(i ¹ k) обратить в нуль.

Одним из таких приемов является использование симметрии рамы при выборе основной системы метода сил. Т.е. основную систему необходимо выбрать симметричной, причем постараться, чтобы как можно большее число неизвестных было в виде прямо- и обратносимметричных усилий.

Прямосимметричные неизвестные создают симметричные эпюры моментов, а обратносимметричные неизвестные — кососимметричные эпюры. Результат перемножения таких эпюр:

= 0 .


 
 


Ì X1

X3 X3

X2

I2

X1

h I1 I1 q

         
   
 
 
   

 


h = 3 О.С.

       
   


l

 
 


Единичные и грузовая эпюры имеют вид :

 

l/2 X1=1 l/2 1 1

X2=1

                               
   
   
         
               


X1=1 X3=1 X3=1

                           
           
 
           
 
           
 
           

 


qh2/2

                                           
             
 
             
         


` M1 `M2 M3 Mp

h h

Рис. 1

 

Тогда в нашем случае d12 = d21 = 0 ; d13 = d31 = 0 , и система из трех уравнений с тремя неизвестными :



ì d11Х1 + d12Х2 + d13Х3 + D=0

í d21Х1 + d22Х2 + d23Х3 + D=0

î d31Х1 + d32Х2 + d33Х3 + D=0 ,

 

после подстановки коэффициентов превращается в одно независимое уравнение :

d11Х1 + D=0 ;

и систему из двух уравнений с двумя неизвестными :

ì d22Х2 + d23Х3 + D=0

î d32Х2 + d33Х3 + D=0 .


 

Группировка неизвестных

Часто, при расчете симметричных рам, не удается выбрать основную систему так, чтобы все неизвестные разместились на оси симметрии. Поэтому для получения симметричных и обратно симметричных эпюр приходится в качестве неизвестных применять не отдельные силы, а группы прямо- и кососимметричных сил.

       
   


Ì P Ì P

       
 
   


I2 I2 y1 y2

h I1

 

l l h = 2

 

P 2l X2=1

X1 X1 X1=1 X1=1 X2=1 l

l

X2 X2 `M1 `M2

 

Рис. 2

 

У1 = Х1 + Х2

У2 = Х1 - Х2 , d12 + d21 = 0.

таким образом система уравнений:

(2)

преобразуется:

d11 X1+ D1P = 0;

и

d22 X2+ D2P = 0

 

Преобразование нагрузки

Любую нагрузку, приложенную к симметричной раме, можно разложить на составляющие симметричного и кососимметричного вида.

q q/2 q/2

Х2 =0 X2

           
 
     


X1 =0 X1

           
     


P P/2 P/2

h = 4 I

 

q/2 X4 X3

q/2

X3 P/2 X4 P/2

II

Сумма двух загружений I + II

дает исходное загружение




 

При загружении рамы симметричной нагрузкой в симметричных связях будут возникать только симметричные неизвестные усилия, а при загружении обратно симметричной нагрузкой — обратно симметричные усилия (см. рисунок).

 

Порядок расчета следующий:

1) преобразуют нагрузку в прямо симметричную и обратно симметричную;

2) рассчитывают раму независимо на прямо- и кососимметричное загружение, учитывая при этом, что при прямо симметричном загружении возникают только симметричные усилия в отброшенных связях, а при обратно симметричном загружении — только кососимметричные усилия. Это значительно сократит расчет в каждом варианте загружения. Решения доводят до построения эпюр MП.С. и MК.С ;

3) окончательную эпюру получают суммированием эпюр, полученных в каждом расчете

M = MП.С. + MК.С. .

 

Применение жестких консолей

 

Пусть требуется рассчитать три раза статически неопределимую раму

 

а) б) X2 в)

X1 X3

P P P

X2 d

I1 I1 h X1 X3 X1

X2 X2

 

                       
           
 


l h = 3

 
 

 


Если основную систему метода сил выбрать как показано на рис б, то:

d12 = d21 = 0; d23 = d32 = 0.

Вводя в основную систему рис.в жесткие консоли (т.е. EI = ¥ ), можно добиться чтобы все побочные коэффициенты были равны нулю.

 

 

D l/2 l/2 1 1

                       
   
   
       
     


X3=1

                       
     
       
           
 
 
 


X1=1 X1=1

X2=1

                                         
   
   
       
     
 
     
 
     
 
 
               
 

 


h-d h-d

 

 

При построении эпюр, на жестких консолях эпюры не строятся, т.к. при перемножении их по правилу Верещагина, результат перемножения в пределах жестких консолей необходимо будет разделен на EI = ¥, т.е.

 

d12 = d21 = 0; d23 = d32 = 0

 

Чтобы и d13 = d31 = 0 подберем длину жесткой консоли из условия:

 

 

Тогда система канонических уравнений примет вид:

 

 

Метод упругого центра

 

Этот метод применяют в основном при расчете статически неопределимых арок и рам, элементы которых имеют переменные жесткости по длине.

Суть этого способа заключается в том, что с помощью специального приема добиваются, чтобы все побочные коэффициенты системы канонических уравнений были равны нулю.

 

Рассмотрим симметричную 3 раза статически неопределимую раму.

 
 


- IP x X1 X3 X1

               
   
     
 
     
 


X2 X2

h IC + IC

           
 
     
 


 

 

l y

 

 

 

 
 


x X1 = 1 X2 = 1 X3 = 1

                       
   
       
   
 
   


y x

           
   
 
 
   
 

 


y

 

;

 


 

Построим упругий контур

 

 
 


d l

 

И коэффициенты запишутся:

- центробежный момент инерции упругого контура относительно осей x и y

- статический момент площади упругого контура относительно оси x

- статический момент площади упругого контура относительно оси y.

Статические моменты и центробежный момент инерции равны нулю относительно главных осей, расположенных в центре тяжести сечения.

Следовательно, если неизвестные X1 ,X2 ,X3 приложены в центре тяжести упругого контура, то все побочные коэффициенты системы канонических уравнений будут равны нулю и система запишется:

Чтобы приложить неизвестные в центре тяжести упругого контура, используются жесткие консоли.

В рассмотренном примере:

 

X1 X3 X1

X2 X2

 

Порядок определения положения центра тяжести упругого контура следующий:

1. на заданной раме строим упругий контур, ширина которого равна ;

2. выбираем систему координат, приняв в качестве одной из осей ось симметрии рамы;

3. находим положение упругого центра:

 

Порядок расчета рам методом сил

1. Определяют степень статической неопределимости системы:

h = CОП + 2Ш0 - 3D;

или

h = 3K- Ш0 ;

2. Выбирают наиболее рациональную основную систему метода сил (с учетом возможных упрощений).

3. Записывают систему канонических уравнений метода сил.

4. Для основной системы строят единичные `Mi и грузовую MP эпюры моментов.

5. Определяют коэффициенты системы канонических уравнений.

6. Проверяют правильность вычисления коэффициентов (универсальная, построчная и проверка грузовых коэффициентов).

7. Решают систему канонических уравнений и определяют значение неизвестных X1 ,X2 ,....,Xn . Правильность решения системы следует проверить подстановкой найденных неизвестных в систему уравнений.

8. Строят исправленные эпюры `MiXi

9. Суммируя исправленные эпюры и грузовую, получают результирующую эпюру

10. Проверяют правильность построения эпюры MРЕЗ:

а) должно выполнятся равенство моментов в узлах;

в) деформационная проверка ( ) = 0.

11. По эпюре MРЕЗ строят эпюру поперечных сил Q и затем по эпюре Q - эпюру продольных сил N.

12. Выполняется статическая проверка равновесия рамы в целом :

åMK = 0;

åx = 0;

åy = 0;

в эти уравнения входит заданная нагрузка и опорные реакции, которые берут из эпюр MРЕЗ , Q, N.

13. В случае необходимости определяют перемещения указанных сечений рамы.

 

Определение перемещений статически неопределимых систем

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!