Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






для вычисления обратной матрицы



Предметная область лекции (раздела учебной дисциплины):Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Теорема о произведении элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца). Теорема об определителе произведения матриц. Теорема о вычислении обратной матрицы с помощью определителей. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Цели:

СО: Становление субъекта развития памяти за счет применения алгоритма усвоения на 1 уу, субъекта развития мышления за счет разработки технологий применения теории в практику (разработка алгоритмов выполнения заданий, 2 уу). Овладение операционным алгоритмом (технологией принятия решения или технологией моделирования познавательной мыслительной деятельности) (1 и 2 уу). Овладение алгоритмами предметной области учебной дисциплины.

СП: Приобретение опыта свободного выбора целей добра и зла из их информационных полей (на примере “дерева цели” свободы) и саморазвитие мотивации моделирования систем познания и поведения при усвоении информации (усвоение определений, теорем, решении упражнений, выполнение заданий для СУ) на основе позитивных составляющих свободы.

ПП: Развитие академических (А), дидактических (Д), конструктивных (Кс), организаторских (Орг), коммуникативных (Км) педагогических способностей. Становление субъекта развития памяти и мышления.

Технологии:(см. лекцию 3)

Алгоритм для усвоения информации на 1 уу и 2 уу (см. лекцию 1 и 2); операционный алгоритм: А––>Д––>Реш––>Рез; алгоритм для реализации выбранной из информационного поля мировоззренческой цели – АЭО (адекватный эмоциональный отклик, информационный, мотивационный и операционный аспекты). Алгоритмы из предметной области учебной дисциплины.

Методы:ОИ и Р.

Средства: ДСО. Учебная дисциплина.

Определение 4.1(минора). Минором k-го порядка определителя матрицы называется определитель, стоящий на пересечении k строк и k столбцов матрицы.

Если k = 1, то миноры – элементы матрицы.

Определение 4.2 (минора элемента матрицы). Если вычеркнуть одну (i) строку и один (j) столбец у определителя n-го порядка, по получим определитель (n – 1) порядка, который обозначается Мij и называется минором элемента аij матрицы А.

Определение 4.3. Минор Мij, умноженный на знак (– 1)i+j , называется алгебраическим дополнением элемента аij матрицы, т.е. Аij = (– 1)i+j Мij есть алгебраическое дополнение.



Задание для СУ 4.4.Запишите матрицу третьего порядка и найдите миноры и алгебраические дополнения, используя их определения, для элементов матрицы.

Лемма 4.5. Если у определителя в n-й строке все элементы равны нулю, кроме аnn , то определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.

Доказательство. Пусть определитель имеет n-ю строку

(0, 0 ,…, 0, аnn). Покажем, что определитель равен аnn Аnn . Запишем определить, воспользовавшись определением: |А| = ∑ sgn(τ 2τ(2) 2τ(2) … аn-1τ(n-1) аnτ(n) . Так как все элементы аnк = 0 при k = 1, 2,…, (n – 1), то в сумме все слагаемые, содержащие эти элементы множителями, равны нулю. Из оставшейся суммы вынесем элемент аnn, который является общим для всех слагаемых.

Получим: |А| = аnn∑ sgn(τ ) а2τ(2) 2τ(2) … аn-1τ(n-1) , только τ в этой сумме надо заменить на τ` – подстановка элементов 1, 2,…, n – 1. Таким образом, оставшаяся сумма является определителем (n – 1) порядка, с одной стороны; с другой, это минор элемента аnn со своим знаком (– 1)n + n . Таким образом, получаем: |А| = аnn (– 1)n + n Мnn = аnn Аnn, что и требовалась доказать.

Лемма 4.5.Пусть матрица имеет вид:

А = , т. е. в (i) строке этой матрицы все элементы нули, кроме аij . Определитель такой матрицы равен аnn Аnn,.

Доказательство. Пусть мы имеем условия леммы 4.5. Как известно, при перестановке строк и столбцов у матрицы определитель меняет знак. Поступим так: (i) строку переставим на место n-й, а (j) столбец передвинем на место n-го столбца. Тогда определитель матрицы изменит знак на

(– 1)i(– 1)j , т. е. на (– 1)i+ j . Такое преобразование приведет к первому случаю, поэтому |А| = (– 1)i+j аij Мij = аij Аij .



Теорема 4.6(о разложении определителя по элементам строки (столбца)). Определитель равен сумме произведений элементов столбца (строки) на соответствующие им алгебраические дополнения, т. е., если взять (j) столбец, то |А| = а1jА1j + а2jА2j + … + аnjАnj. Рассмотрим общий случай. Сделаем над (j) столбцом преобразования, сохранив все другие элементы матрицы:

    |А|     = …а1j + 0 + … + 0 … …0 + а2j+ … + 0 … ……………………….. … 0 + 0 + …+ аnj     = …а1j… …0… …….. …0…     = … 0… …а2j… …….. …0…     +… + …0… …0… ……. …аnj

Таким образом, нам удалось определитель разбить на n определителей, идентичных второму случаю. Поэтому |А| = а1jА1j + а2jА2j + …+ аnjАnj , что и требовалось доказать.

Рассмотренная теорема позволяет вычислять определитель матрицы любого порядка. Если надо вычислить определитель n-го порядка, то поступают так: в какой-нибудь строке (столбце) с помощью преобразований получают нули, кроме одного элемента, затем раскладывают определитель по элементам этой строки (столбца).

Теория определителей имеет широкий спектр приложений, т. е. может быть использована в качестве средства для решения многих вопросов математики. В частности, она лежит в основе одного из способов решения систем линейных уравнений. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксирована теоремой Крамера. С помощью определителей можно находить обратную матрицу.

Теорема 4.7.Произведение элементов столбца на алгебраические дополнения элементов другого столбца равно нулю, т.е.

а1jА1s + а2jА2s + …+ аnjАns = 0.

Доказательство. Пусть дана матрица А = (А1,…, Аj,…, Аs,…, Аn).

Заменим в матрице А столбец Аs на столбец в с элементами β1, β2, …, βn . Получим матрицу В = (А1,…, Аj,…, в,…, Аn). Разложим определитель матрицы В по элементам столбца Аs , получим β1jА1s + β2jА2s + …+ βnjАns . Отметим, что это равенство имеет место для любого набора элементов столбца в. В частности, полив в нем β1 = а1j, β2= а2j, …, βn = аnj , получим, что у матрицы два равных столбца, а такой определитель равен нулю, поэтому

а1jА1s + а2jА2s + …+ аnjАns = 0, что и требовалось доказать.

Теорема 4.8(об определителе произведения матриц). Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, т.е. |АВ| = |А||В|.

Доказательство. Пусть надо найти определитель матрицы АВ.

Рассмотрим случай, когда А = Еφ . Легко проверить, что | Еφ | равен либо 1, либо λ. Поэтому определитель ЕφВ равен либо λ|В|, либо 1·|В|, т. е. | Еφ В| =

=|Еφ||В|. При доказательстве использовалось свойство элементарной матрицы, утверждающее, что если матрица получена умножением на элементарную, то ее же можно получить осуществлением адекватного элементарного произведения.

Пусть матрица А представлена в виде произведения элементарных матриц

А = Е1Е2 …Еs . Индукцией по s можно доказать, что |АВ| = |Е1Е2 …ЕsВ| =

1Е2 …Еs||В| = |А||В|. В доказательстве использовался факт возможного представления матрицы произведением элементарных, это возможно, когда строки матрицы линейно независимые.

Итак, если надо найти определитель произведения матриц АВ, при этом матрица А с независимыми строками (такая матрица называется невырожденной), то |АВ| = | Е1Е2 …Еs В| = | Е1Е2 …Еs ||В| = |А||В|.

Если строки матрицы линейно зависимые, то с помощью элементарных преобразований матрица будет сведена к матрице С, у которой строка состоит из нулей. Но матрица С = ЕsЕs-1 …Е1 А. Умножим справа это равенство на матрицу В, получим: ЕsЕs-1 …Е1 АВ = СВ. Найдем определители этих матриц, получим: |sЕs-1 …Е1 АВ|= |ЕsЕs-1 …Е1 ||АВ| = |СВ| = 0. |АВ| = 0 => 0·|В| = |А||В|, что и требовалось доказать.

Утверждение 4.9(о необходимом и достаточном условии равенства нулю определителя). Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица вырожденная (с линейно зависимыми строками или столбцами).

Доказательство. Пусть строки матрицы линейно зависимы. Тогда, если сводить ее к ступенчатому виду, то появится нулевая строка. По свойству определителя для такой матрицы он равен нулю. Заметим, что сведение к ступенчатому виду разве лишь изменяет знак матрицы или его модуль. Поэтому определитель и данной матрицы равен нулю.

Если определитель отличен от нулю, а предположить, что строки линейно зависимые, то получится противоречие с только что доказанным. Следовательно, определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда строки ее линейно зависимые, т.е. матрицы вырожденная.

Теорема 4.10.Для любой квадратной матрицы равносильны следующие четыре утверждения:

1. Определитель матрицы не равен нулю.

2. Строки (столбцы) матрицы линейно независимые.

3. Матрица А обратима.

4. Матрица А представляется в виде произведения элементарных матриц. Доказательство предоставляется читателю провести самостоятельно.

Теорема 4.11(о нахождении обратной матрицы). Рассмотрим матрицу А*, которая получена из матрицы так: элементы матрицы заменены соответствующими алгебраическими дополнениями, затем матрица транспонируется (строки заменяются столбцами). Матрица А* называется присоединенной матрицей для А. А–1 = (1/|А|)А* .

Доказательство. Доказательство теоремы основано на основании теоремы 4.7. Пусть дана невырожденная матрица А, т. е. ее определитель

|А| ≠ 0. Составим присоединенную матрицу А*. Тогда

  АА* = |А| 0 … 0 0 |А| … 0 ……………… 0 0 … |А|   = |А|Е =>   А[(1/|А|)А*] = Е  

Откуда получаем А–1 = (1/|А| )А*, что и требовалось доказать.

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!