Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Свойство 3.15. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю



Лекция 3. Тема: Понятие определителя. Определители n-го порядка

И его свойства

Предметная область лекции (раздела учебной дисциплины):Определитель как числовая характеристика матрицы. Определение подстановки. Инверсия. Четные и нечетные подстановки. Произведение подстановок. Введение понятия определителя второго и третьего порядка и способа их вычисления. Определение определителя n-го порядка. Свойства определителей: определитель матрицы, содержащей нулевую строку, определитель диагональной и треугольной матрицы. Определитель транспонированной матрицы и его свойство. Изменение определителя при умножении строки на число, перестановке строк. Определитель матрицы с двумя равными и пропорциональными строками. Определитель матрицы, у которой элементы строки содержат несколько слагаемых.

Цели:

СО: Становление субъекта развития памяти за счет применения алгоритма усвоения на 1 уу, субъекта развития мышления за счет разработки технологий применения теории в практику (разработка алгоритмов выполнения заданий, 2 уу). Овладение операционным алгоритмом (технологией принятия решения или технологией моделирования познавательной мыслительной деятельности) (1 и 2 уу).

СП: Приобретение опыта свободного выбора целей добра и зла из их информационных полей (на примере “дерева цели” свободы: понимание свободы как необходимости выбора, целеустремленность, самостоятельность, самодеятельность, постановка общественного выше личного, сознательность, ответственность, долг, совесть, самопринуждение) и саморазвитие мотивации моделирования систем познания и поведения при усвоении информации (усвоение определений, теорем, решении упражнений, выполнение заданий для СУ) на основе позитивных составляющих свободы.

ПП: Развитие академических (А), дидактических (Д), конструктивных (Кс), организаторских (Орг), коммуникативных (Км) педагогических способностей. Приобретение опыта субъекта преподавания.

Технологии:

Алгоритм для усвоения информации на 1 уу и 2 уу (см. лекцию 1 и 2); операционный алгоритм: А––>Д––>Реш––>Рез; алгоритм для реализации выбранной из информационного поля мировоззренческой цели – АЭО (адекватный эмоциональный отклик, информационный, мотивационный и операционный аспекты), алгоритмы из предметной области учебной дисциплины. Приобретение опыта встраивания предметной области учебной дисциплины в систему обучения.

Методы:ОИ и Р.

Средства: ДСО. Учебная дисциплина.



Отметим, что основной теорией алгебры, которая предлагается в первом семестре, является теория систем линейных уравнений. Исследование и решение систем основано на теории матриц, одной важной характеристикой для которых является ее определитель. Определитель это число. Рассмотрим теорию, позволяющую вычислять определитель квадратной матрицы любой размерности. Для этого предварительно рассмотрим некоторые вопросы теории подстановок. Теории подстановок отводится самостоятельный раздел математики, а в нашем курсе на свойствах подстановок основаны некоторые понятия и доказательства свойств определителей матриц.

Пусть дано множество натуральных чисел N. Выберем его подмножество М = {1, 2,…, n}. Вспомним определение функции: f (х) = у. Зададим функцию (отображение) множества М на себя. Обозначим отображение буквой τ: k ––> τ (k), где и τ, и τ (k) – числа натуральные из М.

Записывать отображение будем так:

τ = 1 2 … n

τ(1) τ (2)… τ (n)

Например, τ 1 = 1 2 3 τ 2 = 1 2 3

2 1 3 1 3 2

Определение 3.1(подстановки). Подстановкой n- го порядка называется отображение множества М на себя. Договоримся в первой строке подстановки всегда писать числа в натуральном порядке.

Создать подстановку любого порядка несложно. Выясним, сколько различных подстановок существует для заданного множества М? Оказывается, их ровно n!. Все множество подстановок n-го порядка обозначим Sn. Подстановки образуют алгебру < Sn, · > , где “ · ” – композиция (умножение) подстановок. Умножаются подстановки по правилу последовательного осуществления отображений. Пусть имеется два отображения множества М на себя: φ и ψ. Тогда φ ψ (k) = φ (ψ (k)). Среди всех подстановок n-го порядка особую роль выполняет подстановка ε = 1 2 … n



1 2 … n .

Она называется тождественной и выполняет в алгебре подстановок роль единицы при умножении, т.е. ε φ = φ ε = φ.

Любая подстановка имеет себе обратную, т.е. для φ = 1 2 … n

φ(1)φ(2)…φ(n) обратной является φ –1 = φ (1) φ (2) … φ (n)

1 2 … n .

Чтобы привести обратную подстановку к обычному виду, необходимо в первой ее строке упорядочить числа в натуральном порядка, сохранив отображение.

Для теории определителей важным является понятие четности и нечетности подстановки. Для установления этого факта служит понятие инверсии. Инверсия или “беспорядок” – явление, когда во второй строке подстановки большее число стоит впереди меньшего. Четное число инверсий определяет четную подстановку, а нечетное число инверсий – нечетную подстановку. Для удобства оперирования, четной подстановке приписывается знак “+”, для нечетной – знак “–”. В общем случае знак подстановки обозначают sng (φ). Легко установить, что взаимно обратные подстановки имеют одинаковую четность, единичная подстановка четная. Четных подстановок и нечетных подстановок ровно половина, т.е. n! / 2.

В теории подстановок есть понятие “транспозиции”. Транспозиция – это подстановка, полученная из данной, в которой сохранено отображение всех элементов, кроме двух – k и m. Элементы k и m в верхней строке меняются местами, сохранив их образы в нижней строке. Одна транспозиция меняет четность подстановки.

Задание для СУ 3.2. 1. Осмыслите и выучите все понятия теории подстановок. 2. Запишите несколько подстановок четвертого порядка и установите их четность. 3. Запишите подстановку и найдите ей обратную. 4. Запишите две подстановки одного порядка и найдите произведение подстановок, убедитесь в том, что композиция подстановок не коммутативна. 5. Произведите транспозицию над некоторой подстановкой и убедитесь, что подстановка изменила знак. 6. Для поиска ответов на вопросы и выполнения заданий используйте алгоритмы: для усвоения информации на 1 уу, 2 уу, операционный алгоритм.

Перейдем к рассмотрению теории определителей матриц.

Пусть дана матрица размерности 2х2, или будем говорить о матрице второго порядка, А = α 11 α 12

α 21 α 22 Обозначим определитель этой матрицы так: |А| = det А = Δ = α 11 α22 - α 12 α21 . Мы видим, что индексы у сомножителей слагаемых образуют подстановки 1 2 1 2

1 2 2 1 , первая из которых, четная, поэтому первое слагаемое взято со своим знаком, а вторая подстановка нечетная, поэтому произведение взято с противоположным знаком. Мы можем сказать, что определитель матрицы второго порядка есть сумма двух произведений элементов матрицы, в каждом из которых взяты элементы по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца.

Рассмотрим матрицу размерности 3х3, т.е матрицу третьего порядка

α 11 α12 α 13

А = α 21 α22 α 23

α 31 α32 α 33 .

Сначала запишем все подстановки третьего порядка. Установим их четность, затем создадим произведения элементов, соответствующих подстановкам, и сделаем обобщение о структуре определителя 3-го порядка.

Итак, получим подстановки:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 , 3 1 2 , 2 3 1 , 3 2 1 , 2 1 3 , 1 3 2 .

Мы видим, что получилось шесть подстановок, первые три подстановки являются четными, следовательно, произведение элементов с индексами соответствующими возьмем со своим знаком, а три других подстановки – нечетные, поэтому произведения из этих элементов возьмем с противоположным знаком. В результате получим определить матрицы А:

|А| = α11α22α33 + α13α21α 32 + α12α23α 31 – α13α22α31 – α12α21α 33 – α11α23α32 .

Таким образом, определитель матрицы третьего порядка равен сумме 3! слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов матрицы, взятых по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы со своим знаком, который соответствует знаку подстановки из индексов элементов сомножителей.

Рассмотренное выше позволяют обобщить и дать определение определителя матрицы размерности nхn или, как говорят, определителя n-й степени или определителя n-го порядка.. Заметим, что определитель матрицы размерности 3х3, если внимательно посмотреть на сумму, можно найти не прибегая к построению подстановок. А именно, можно воспользоваться “правилом треугольника”, которое вытекает их рассмотренной выше информации вычисления определителя. Схематично это выглядит так:

 

˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚

˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚

˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ .

Таким образом, следуя схеме, из первых точек получили первые три слагаемых, а из вторых – три других слагаемых.

Задание для СУ 3.3. 1. Запишите матрицу размера 2х2 и вычислите ее определитель (1 и 2 уу). 2. Запишите матрицу размерности 3х3 и, используя рекомендации (правило треугольника), вычислите определитель (1 и 2 уу). 3. Выучите правило треугольника (1 уу).

Если взять все подстановки n-й степени, т.е. Sn , которых ровно n!, то можно дать определение определителю.

Определение 3.4(определителя). Определителем матрицы n-го порядка называется сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n множителей, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком, который определяется знаком подстановки, состоящий из индексов элементов.

|А| = Σ sgn (τ) α 1 τ (1) α 2 τ (2) … α n τ (n) .

Зная определение определителя, можно найти его для любой квадратной матрицы, как это мы делали для матрицы второго и третьего порядка. Однако эта процедура требует больших затрат времени и вычислений. Этого можно избежать, если воспользоваться свойствами определителя, к рассмотрению которых мы и перейдем.

Предложение 3.5. Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Доказательство. Если у матрицы одна строка нулевая, а согласно определению определителя в каждое слагаемое выбирается из этой строки обязательно один сомножитель, который равен нулю, то все слагаемые будут равны нулю, поэтому и определитель равен нулю.

Предложение 3.6. Определители диагональной и треугольной матриц равны произведению элементов, стоящих на диагонали.

Доказательство. Пусть матрица диагональная (см. таблицу 1). Тогда выбирая из первого столбца по одному элементу в слагаемые, останутся только те слагаемые, которые содержат α11. Так как элемент из первой строки уже выбран, то из второй строки может быть взят в произведение только α22 и т.д., что и доказывает утверждение, что |А| = α11 α22 … α nn . Аналогично доказывается предложение для треугольной матрицы.

Определение 3.7(транспонированной матрицы). Матрица tА называется транспонированной к А, если в матрице А строки заменить соответствующими столбцами, т.е. α 11 α21 … α n1

t А = α 12 α22 …. α n2

α 1n α2n … α nn .

Теорема 3.8(транспонирование произведения матриц). Если произведение АВ существует, то существует произведение

t В t А и t (АВ) = t В t А.

Доказательство. Пусть матрица А размерности mхn, а матрица В размерности nхp. Тогда матрица АВ существует и имеет размерность mхp. С другой стороны, матрица tВ имеет размерность pхn, а матрица tА имеет размерность nхm, т.е. матрица tВ tА существует и имеет размерность pхm. Матрица АВ имеет размерность mхp и матрица t(АВ) имеет размерность

pхm. Т.е. матрицы tВ tА и t(АВ) одинаковой размерности. Покажем, что элемент сik матрицы t(АВ) и элемент с`ik матрицы tВ tА равны.

cik = АkВi = (αk1, …, αkn) β1i

 

.

β ni

и

 

с`ik = (tВ)i (tА)k = (β1i ,…, βni ) αk1

.

αkn

Если найти произведения, то можно убедиться, что результаты совпадают, что и доказывает теорему.

Теорема 3.9(об определителе транспонированной матрицы). Определитель транспонированной матрицы tА равен определителю матрицы А.

Доказательство. Заметим, что речь идет о квадратной матрице.

Пусть матрица А квадратная размера nхn. с элементами α ij , а матрица транспонированная к ней имеет ту же размерность и ее элементы βij . В силу определения транспонированной матрицы βik = α ki . Если записать определитель матриц А и транспонированной tА, то индексы элементов в произведениях будут составлять взаимно обратные подстановки (взаимно обратные подстановки одинаковой четности), а элементы равные, что и доказывает утверждение.

Задание для СУ 3.10. 1.Запишите произведения, о которых идет речь в теореме 3.9.

Факт того, что определитель данной матрицы и транспонированной равны, позволяет, при необходимости, строки и столбцы заменять. Это удобно при проведении доказательств ряда утверждений.

Свойство 3.11. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы, определитель ее изменит знак, не изменяясь по модулю.

Доказательство. Если две строки (столбца) поменять местами, то для элементов в произведениях разве лишь произойдет перестановка. В подстановках же, образующих набор индексов, произойдет одна транспозиция, что изменит знак подстановки, а, следовательно, знак каждого произведения, что и доказывает то, что знак определителя изменится на противоположный.

Замечание. В утверждении 3.11 использовалось понятие транспозиции.

Задание для СУ 3.12.1. Запишите матрицу размерности 3х3 2. Переставьте любые две строки. 3. Найдите определитель матрицы до перестановки строк и после. 4. Сделайте вывод.

Свойство 3.13. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (два одинаковых столбца) равен нулю.

Доказательство. Если у матрицы две одинаковые строки, то при перестановке этих строк, с одной стороны, определитель матрицы не изменится. С другой стороны, определитель изменит свой знак. Это возможно только в случае, когда определитель равен нулю.

Свойство 3.14. Если все элементы строки (столбца) матрицы умножить на число, то на это число умножится определитель.

Доказательство. Если строку матрицы умножить на число, например λ, то в каждом произведении появится сомножитель, умноженный на это число. Это действительно так. Следует это из определения определителя матрицы.

Если |А| = = Σ sgn (τ) α 1 τ (1) α 2 τ (2) … α n τ (n) . Пусть умножили первую строку на число λ. Тогда получится новая матрица В.

|В| = Σ sgn (τ)(λα1 τ (1) 2 τ (2) … α n τ (n) . Так как у каждого слагаемого есть множитель λ, то его можно вынести за знак суммы и получим:

|В| = λ Σ sgn (τ)α1 τ (1) α 2 τ (2) … α n τ (n) = λ |А|, что и требовалось доказать.

Свойство 3.15. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Если у матрицы две строки пропорциональны, то это значит, что одна строка получена из другой, умножением на некоторое число. Если это число вынести за знак определителя, то у него останется две равные строки. Тогда по свойству 3.13 определитель равен нулю.

Свойство 3.16. Если к одной строке матрицы прибавить другую, умноженную на число, то определитель не изменится.

Доказательство. Если к строке матрицы, например к первой, прибавить другую, например вторую, умноженную на λ, то определитель такой матрицы будет равен |В| = ∑ sgn(τ ) (а1τ(1) + λа2τ(2)2τ(2) … аnτ(n) . Если раскрыть скобки, то получим две суммы ∑ sgn(τ ) (λа1τ(1) 2τ(2) … аnτ(n) =

= ∑ sgn(τ ) а1τ(1) а2τ(2) … аnτ(n) + λ∑ sgn(τ ) а2τ(2) 2τ(2) … аnτ(n) . Первое слагаемое – это определитель матрицы А, а второе слагаемое – это определитель матрицы, у которой первая и вторая строки равны. Такой определитель равен нулю. Таким образом, |В| = |А|, что и требовалось доказать.

Свойство 3.17. Если (i)-я строка матрицы имеет вид (а1 +…+ ак в1 +…+ вк … с1 +…+ ск), то определитель такой матрицы равен сумме к определителей, каждый из которых в (i) строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами данной матрицы.

Доказательство. Это свойство является обобщением свойства 3.16. Отличие будет в том, что после раскрытия скобок и рассмотрения полученных сумм это будут определители матриц, у которых все элементы, за исключением (i) строки совпадут с элементами матрицы А. Элементы (i) строки будут представлять собой соответствующие слагаемые. Так как слагаемых k, то и определителей будет k.

Задание для СУ:1. Запишите любую матрице третьего порядка. 2. Выполните над ней предлагаемые преобразования. 3. Проверьте результат на выполнение перечисленных свойств определителя и сделайте вывод.

Перейдем к рассмотрению теории, которая позволит построить алгоритм вычисления определителя любого порядка. Соответствующую теорию рассмотри в лекции 4..

Вопросы для проверки усвоения предметной области по алгебре

1. Определитель второго, третьего и n-го порядка. Определитель матрицы с нулевой строкой, диагональной и треугольной.

2. Транспонированная матрица и ее определитель.

3. Свойства определителей.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!