СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТАВЛЯЮЩИХ ЧЕРЕЗ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Качество работы систем РА при случайных воздействиях оценивается по суммарной средней квадратической ошибке. В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно считать гауссовским, поэтому для расчета составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или ее спектральную плотность. Прежде чем рассматривать методы вычисления суммарной средней квадратической ошибки, установим, через какие передаточные функции в выражение для суммарной ошибки входят сигнал и помеха, полагая, что на вход системы подается воздействие вида

f(t) = x(t) + n(t),

где x(t) – случайный сигнал; n(t) – случайная помеха.

Суммарная ошибка системы (рис. 7.1) eΣ (t) = x(t) – y(t),

где y(t) – выходной сигнал системы. Здесь Wз(p) – система со стопроцентной обратной связью, т.е. с коэффициентом передачи, равным единице; схема представлена, чтобы сравнить входной и выходной сигналы.

Преобразование Лапласа для суммарной ошибки:

E(p)= X(p) – Wз(p)F(p) = X(p) – Wз(p)[ X(p) + n(p)] = X(p) – Wз(p) X(p) –

– Wз(p)n(p) = X(p)[1 – Wз(p)] – Wз(p)n(p) = We(p) X(p) – Wз(p)n(p), (7.1)

где Wз(p) – передаточная функция замкнутой системы; We(p) – передаточная функция ошибки анализируемой системы; Х(р), п(р) – преобразования Лапласа для сигнала и помехи. Из выражения (7.1) следует, что суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения сигнала, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи, – от передаточной функции замкнутой системы. При анализе средней квадратической ошибки ограничимся случаем, когда сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. При этом математическое ожидание помехи будем полагать равным нулю,

а случайный сигнал представим в виде x(t) = mx⁰ + x(t),

где тх – математическое ожидание сигнала; x⁰(t)– случайная составляющая сигнала.

Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме

о конечном значении функции:

Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки:

– дисперсия шибки; – средняя квадратическая ошибка системы; e(t) –ошибка системы; М – математическое ожидание от квадрата ошибки; Re (t) –автокорреляционная функция ошибки.

22.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ СИСТЕМЫ ЧЕРЕЗ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И КВАДРАТЫ МОДУЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СИСТЕМЫ. СУММАРНАЯ СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА СИСТЕМЫ. ЭФФЕКТИВНАЯ ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ: КРИТЕРИЙ И СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки:

– дисперсия шибки; – средняя квадратическая ошибка системы; e(t) –ошибка системы; М – математическое ожидание от квадрата ошибки; Re (t) –автокорреляционная функция ошибки.

На основании эргодической теоремы автокорреляционную функцию ошибки находят как среднее по времени от произведения случайных составляющих ошибки, разделенных промежутком времени τ:

где e(t) x(t) y(t) – случайная составляющая суммарной ошибки. По теореме свертки и учитывая, что E(p) = We(p)X(p) – Wз(p)n(p).

где we(t) – импульсная переходная функция ошибки системы; wз(t) – импульсная переходная функция замкнутой системы. Так как рассматривают стационарный режим работы системы, то интегрирование в выражениях (7.5) берут от минус бесконечности. Подставив выражения (7.5) в (7.4), после несложных преобразований найдем автокорреляционную функцию ошибки:

где Rx(τ) – автокорреляционная функция сигнала; Rп(τ) – автокорреляциионная функция помехи; Rxп (τ), Rпx(τ) – взаимные корреляционные функции.

Дисперсия ошибки может быть вычислена и через ее спектральную плотность, которая, как известно, равна преобразованию Фурье от автокорреляционной функции ошибки системы (7.6):

Величину называют суммарной средней квадратической ошибкой системы РА. Вычисление средней квадратической ошибки через ее автокорреляционную функцию (7.6) связано с некоторыми трудностями, одна из которых связанас нахождением импульсной переходной функции анализируемой системы РА,другая – с вычислением (7.7)

Величину

называют эффективной полосой пропусканиясистемы РА.