Среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Коэффициент вариации

Среднее квадратическое отклонение основано на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической. При этом используется способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической, позволяющий обойти трудность, обусловленную равенством нулю их алгебраической суммы. Данный способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней с их последующим усреднением.

Дисперсия (о*) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

Среднее квадратическое отклонение (о) представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько е среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необ­ходимость сравнения вариации различных признаков. При сравнении изменчивости различных при­знаков в совокупности, для оценки интенсивности вариации, для сравнения ее в разных совокупностях ¹ и для разных признаков удобно применять относи - тельные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:

(коэффициент осцилляции);

(относительное линейное отклонение).

Коэффициент вариации - наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Со­вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному. Коэффициент вариации применяется для сравнения колеблемости разнородных признаков. Коэффициент вариации часто используется для сравнения размеров вариации в совокупностях, отличающихся друг от друга величиной средней (в совокупностях с разными уровнями):

Оценка степени интенсивности вариации возможна только для каждого отдельного признака и совокупности определенного состава. При этом при равенстве коэффициентов вариации для раз­личных признаков или в разных совокупностях вариация в одних случаях может считаться как сильная, а в других - как слабая. Различная сила, интенсивность вариации обусловлены объективны­ми причинами.

5. Структурные показатели вариационного ряда: мода, медиана, квартили, децили

Основные структурные показатели вариационного ряда, мода; медиана; квартили; децили.

Мода - это наиболее часто встречающееся в совокупности значение признака. Для дискретного вариационного ряда мода определяется по частотам вариант и соответствует варианте с максимальной частотой.

Особенности применения моды:

1) если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то говорят, что этот вариационный ряд не имеет моды;

2) если две соседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то мода вычисляется как среднее арифметическое этих вариант;

3) если две несоседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд называется бимодальным;

4) если таких вариант более двух, то ряд полимодальный.

Определение модального интервала в случае интервального вариационного ряда:

1) с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте;

2) при неравных интервалах - по наибольшей плотности.

Формула определения моды при равных интервалах внутри модального интервала:

Применение моды:

1) в практике мода и медиана иногда используются вместо средней арифметической или вместе с ней;

2) фиксируя средние цены товаров или продуктов на рынке, записывают наиболее часто встречающую­ся цену на рынке (моду цены).

Медиана - это значение изучаемого признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности.

Применение свойства медианы:

при проектировании оптимального положения остановок общественного транспорта; при проектировании складских помещений; при сооружении бензозаправок и т. д.

Квартили- это порядковые характеристики, отделяющие четверти ранжированных совокупностей.

Особенности вычисления квартили:

первый квартиль (нижний) отделяет четверть ранжированной совокупности снизу и вычисляется по формуле:

6. Показатели дифференциации

Для изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели называют центральными моментами распределения порядка, соответствующего степени, в которую возводятся отклонения. Согласно свойству средней арифметической центральный момент первого порядка равен нулю, второй центральный момент представляет собой дисперсию. Величина третьего момента m₃:

зависит, как и его знак, от преобладания положи­тельных отклонений в кубе над отрицательными либо наоборот.

При нормальном и любом другом строго симмет­ричном распределении сумма положительных отклонений в кубе строго равна сумме отрицательных от­клонений в кубе.

Момент третьего порядка используется при оцен­ке асимметрии.

В анализе вариационных рядов применяются также специальные показатели, позволяющие охарактеризовать расхождения между эмпирическим и нормальным распределениями как с качественной, так и с количественной стороны. Нормальное распределение строго симметрично. Фактически распре­деления, построенные по эмпирическим данным, как правило, асимметричны, т. е. смещены по отношению к оси симметрии нормального распределения влево или вправо. Для определения направления величины этого смещения (скошенности) употребляется коэффициент асимметрии:

где m₃- центральный момент третьего порядка;

- куб среднего квадратического отклонения. в эмпирических распределениях центральный момент нечеткого порядка будет отличаться от нуля в зависимости от характера асимметрии: при левосторонней асимметрии он будет меньше нуля, при правосторонней - больше нуля. Коэффициент асим­метрии позволяет проводить сравнения между собой различных распределений.

На основе разности между средней величиной и модой вычисляют другой показатель асимметрии:

который при левосторонней асимметрии отрицателен, а при правосторонней - положителен.