Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Потенциальное и соленоидальное векторные поля



Теоретический материал по данной теме изложен на с. 228-236 данного издания.

Пример 30. Проверить, является ли векторное поле

а) потенциальным; б) соленоидальным. Если поле потенциально, найти его потенциал.

Решение. А) Находим ротор поля

Следовательно, поле - потенциально.

Б) Найдем дивергенцию поля

Следовательно, поле не соленоидально.

В) Так как , то потенциал поля может быть вычислен по формуле

Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от пути интегрирования. Здесь за начальную точку удобно взять начало координат . В качестве пути интегрирования возьмем ломаную ОАВМ (рис. 17).

Рис. 17

1. На отрезке следовательно

2. На отрезке отсюда

3. На отрезке отсюда

Итак, где - произвольная постоянная.

Окончательно,

Задания на контрольные работы № 5-8

Номера задач выбираются по таблице в соответствии с последними двумя цифрами шифра и первой буквой фамилии. Например, студент Иванов, шифр 1-45-5815, решает в контрольной работе 5 задачи 5, 15, 21,31, в контрольной работе 6 - задачи 45, 51, 61, 71, в контрольной работе 7 - задачи 85, 91, 101, 111, в контрольной работе 8 - задачи 125,135,141,151.

 

 

Последняя цифра шифра
Номер контрольной работы
Предпоследняя цифра шифра
Номер контрольной работы
Первая буква фамилии А,И Т Б,ОЦ В,НХ Г,ФЯ Д,ЗЛ Е,МР Ж,СЧ К Э П Щ У,ШЮ
Номер контрольной работы

Контрольная работа №5



 

В задачах 1-10 найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

В задачах 11-20 найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка

В задачах 21-30 найти общее решение линейных уравнений второго порядка

В задачах 31-40 найти область сходимости степенных рядов

Контрольная работа №6

 

В задачах 41-50 разложить функцию в ряд Маклорена, определить область сходимости ряда

В задачах 51-60 построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

61. Вычислить площадь поверхности части сферы , вырезанной цилиндром и плоскостью .

62. Вычислить площадь плоской пластины, ограниченной линиями: и (вне параболы).

63. Вычислить площадь поверхности цилиндра, , отсеченной плоскостями .

64. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , , , , .

65. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: и , лежащего в I октанте при .

66. Найти площадь плоской пластины, ограниченной линиями , .

67. Определить площадь части круга , находящейся вне круга (использовать полярные координаты).

68. Вычислить массу однородной плоской пластины ( ),

ограниченной окружностью и прямыми и .

69. Найти массу пластины с плотностью , ограниченную линиями , , .

70. Найти массу пластины с плотностью , заданной неравенствами: .

 

В задачах 71-80 вычислить криволинейные интегралы по кривой :

 


Контрольная работа №7

В задачах 81-86 разложить функции в ряд Фурье; построить график заданной функции

 

 

81.

82.

83.

84.

85.

86.

 

 

В задачах 87, 88 разложите функцию в ряд Фурье по синусам; постройте график заданной функции.



 

87.

88.

 

В задачах 89,90 разложите функцию в ряд Фурье по косинусам; постройте график заданной функции.

 

89.

90.

 

В задачах 91-95 решить методом Фурье волновое уравнение на заданном отрезке с граничными условиями и заданными начальными условиями.

 

91.

92.

93.

94.

95.


В задачах 96-100 решить методом Фурье уравнение теплопроводности на данном отрезке при заданном начальном условии и граничных условиях .

96.

97.

98.

99.

100.

В задачах 101-106 вычислить тройной интеграл по области T, заданной неравенствами. Сделать чертеж.

101.

(при вычислении интегралов перейдите к цилиндрическим координатам).

102. .

103. (при вычислении интегралов перейдите к цилиндрическим координатам).

104. .

105. (при вычислении интегралов перейдите к цилиндрическим координатам).

106.

В задачах 107-110 найти массу тела, заданного неравенствами и имеющего заданную плотность . Сделать чертеж.

107. .

108. (при вычислении тройного интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

109.

110. (при вычислении тройного интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

В задачах 111-120 вычислите поверхностный интеграл. Сделайте чертеж поверхности.

111. где - часть плоскости ограниченная координатными плоскостями.

112. - верхняя сторона части параболического цилиндра , ограниченная круговым цилиндром и плоскостью . При вычислении интеграла по перейдите к полярным координатам.

113. - часть поверхности цилиндра , ограниченная плоскостями

114. , где - часть поверхности конуса , ограниченная плоскостями и (при вычислении двойного интеграла перейдите к полярным координатам).

115. , - часть кругового цилиндра , ограниченная плоскостями

116. - верхняя сторона части конуса , ограниченной плоскостями . При вычислении интеграла по перейти к полярным координатам.

117. , где - верхняя сторона части сферы . При вычислении двойного интеграла перейдите к полярным координатам.

118. , где - верхняя сторона части плоскости , ограниченной координатными плоскостями.

119. , - часть параболического цилиндра ограниченная координатными плоскостями и плоскостью .

120. ; - верхняя сторона части кругового цилиндра , ограниченная круговым цилиндром и плоскостью Перейдите к полярным координатам.

 

Контрольная работа № 8

 

В задачах 121-130 найдите градиент скалярного поля и проверьте, является ли скалярное поле гармоническим.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

 

В задачах 131-135 найдите поток векторного поля через часть поверхности , лежащую в первом октанте в направлении нормали, образующей острый угол с осью . Сделайте чертеж.

131.

132.

133.

134.

135.

 

В задачах 136-140 вычислите с помощью теоремы Остроградского поток векторного поля в сторону внешней нормали через поверхность тела, лежащего в первом октанте и ограниченного заданной поверхностью и координатными плоскостями. Сделайте чертеж.

136.

137.

138.

139.

140.

 

В задачах 141-150 вычислите циркуляцию векторного поля по пути пересечения с координатными плоскостями той части поверхности , которая лежит в первом октанте . - точки пересечения поверхности с осями соответственно. Сделайте чертеж.

 

В задачах 141-145 вычислите циркуляции с помощью теоремы Стокса.

141.

142.

143.

144.

145.


В задачах 146-150 вычислите циркуляцию с помощью ее определения.

146.

147.

148.

149.

150.

 

В задачах 151-160 проверьте является ли векторное поле : а) потенциальным, б) соленоидальным. Если поле потенциально, найдите его потенциал.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

Текущий контроль

Тестовые задания

 

1. Определить какое уравнение имеет следующее решение .

а) б) в)

2. Определите характеристическое уравнение для дифференциального уравнения

а) б) в)

3. Определить при каком значении будет сходиться степенной ряд по признаку Даламбера .

а) б) в)

4. Сформулируйте геометрическую интерпретацию двойного интеграла.

5. Сформулируйте геометрическую интерпретацию тройного интеграла.

6. Определите признак потенциальности векторного поля :

а) б) в)

7. Определите признак соленоидальности векторного поля :

а) б) в)

8. Укажите какой из физических процессов определяется уравнением

:

а) процесс распространения тепла; б) процесс диффузии;

в) процесс колебания струны.

9. Определите тип уравнения :

а) эллиптический тип; б) гиперболический тип;

в) параболический тип.

10. Определите формулу для решения методом Фурье волнового уравнения :

а) б)

в)

Ответы на тесты

1-б; 2-а; 3-б; 6-а; 7-б; 8-в; 9-а; 10-а.

 

Итоговый контроль

Вопросы для подготовки к экзамену по математике

(III семестр )

Дифференциальные уравнения

1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка и решения. Дифференциальное уравнение первого порядка, поле направлений, изоклины.

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

3. Определение общего и частного решения (интеграла) дифференциального уравнения первого порядка.

4. Уравнение с разделяющимися переменными, его интегрирование.

5. Линейное уравнение первого порядка, его интегрирование.

6. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка, его интегрирование.

7. Дифференциальное уравнение n-го порядка. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка.

8. Определение общего и частного решения дифференциального уравнения n-го порядка. Интегрирование уравнения вида .

9. Уравнения, допускающие понижение порядка. Метод интегрирования уравнения вида , где k < n.

10. Метод интегрирования уравнения вида .

11. Определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Однородное линейное уравнение. Свойства решений однородного линейного уравнения.

12. Определение линейно-зависимых и линейно-независимых функций. Примеры.

13. Определение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.

14. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

15. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера, характеристическое уравнение.

16. Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка в случае вещественных различных корней характеристического уравнения. Пример.

17. Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения. Пример.

18. Построение фундаментальной системы решений и общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка в случае вещественных равных корней характеристического уравнения. Пример.

19. Правило нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где - многочлен степени .

20. Правило нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где .

21. Метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения вида (принцип наложения).

22. Система линейных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Определение общего и частного решения системы. Метод исключения для нормальных систем дифференциальных уравнений.

23. Системы линейных дифференциальных уравнений. Свойства решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Ряды

24. Числовые ряды. Определение n-ой частичной суммы ряда. Понятия сходимости и расходимости числового ряда. Сумма сходящегося ряда. Геометрический ряд.

25. Свойства сходящихся рядов: умножение ряда на число, почленное сложение рядов.

26. Остаток ряда. Теорема об одновременной сходимости ряда и его остатка.

27. Необходимый признак сходимости ряда. Иллюстрация его недостаточности на примере.

28. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда.

29. Первый и второй признаки сравнения положительных рядов.

30. Признак Даламбера.

31. Интегральный признак Коши.

32. Обобщенный гармонический ряд , где p – любое действительное число. Поведение ряда при p<1, p=1, p>1.

33. Знакопеременные ряды. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

34. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка абсолютной погрешности при замене суммы сходящегося ряда суммой первых n его членов.

35. Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда.

36. Степенной ряд. Теорема Абеля.

37. Область сходимости степенного ряда. Определение радиуса и интервала сходимости. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда с помощью признака Даламбера.

38. Свойства сходящихся степенных рядов.

39. Единственность представления функции степенным рядом. Ряд Тейлора.

40. Разложение в ряд Тейлора в окрестности точки функций , , .

41. Разложение в ряд Тейлора в окрестности точки функций , .

42. Биномиальный ряд для функции .


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!