Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Интегрирование некоторых тригонометрических функций



Руководство к решению контрольной работы

№2 по теме «Интеграл»

Неопределенный интеграл.

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

= +3 = .

Ответ: .

Иногда при интегрировании удобно использовать свойство дифференциала:

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Согласно формуле (2) можно записать:

.

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: .

 

Инвариантность формул интегрирования позволяет применять при интегрировании подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции, основанное на следующей формуле:

. (3)

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала, а также таблицей интегралов:

= = .

Ответ: .

Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

. (4)

Обычно за выбирают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.

Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:

1) ; ; ;

– здесь за u принимают многочлен , за – оставшееся выражение, то есть, например .

2) ; ;

– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx, за – оставшееся выражение, то есть .

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют отношение двух многочленов и , т.е. = . Для интегрирования рациональной дроби необходимо предварительно разложить , т.е. представить ее в виде суммы элементарных дробей видов:

,

где k, r – целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. Если дробь неправильная ( ), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Для нахождения интегралов видов и используют тригонометрические формулы:

(5)

Для нахождения интегралов вида , где R – рациональная функция (не содержащая sinх и cosx под знаком корней), применяют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.

и (6)

Формула Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбницадля вычисления определенного интеграла имеет вид:

, (7)



если и непрерывна на .

Пример 4. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу НьютонаЛейбница, получаем:

= .

Ответ: .

Несобственные интегралы первого и второго рода

Интеграл

(8)

называется несобственным интегралом первого рода.

Интеграл

, (9)

где a – точка бесконечного разрыва функции называется несобственным интегралом второго рода.

Если b – точка бесконечного разрыва функции , то

, (10)

– тоже несобственный интеграл второго рода.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому

Следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: интеграл сходится и равен .

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому

,

следовательно, интеграл расходится.

Ответ: интеграл расходится.

Вычисление площади в декартовой системе координат (ДСК)

Криволинейной трапецией в ДСК называется фигура, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой y = f(x), где для (рис. 1).

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

. (11)

Если фигура Ф ограничена в ДСК линиями x = a, x= b, y = f1(x) и y = f2(x) где для (рис. 2), то площадь Ф можно вычислить по формуле:

. (12)

9. Вычисление площади в полярной системе координат (ПСК)

Криволинейным сектором в ПСК называется фигура, ограниченная лучами и кривой , где (рис. 3).



Формула для вычисления площади криволинейного сектора:

. (13)


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!