Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






N 2.Сызықтық операторларды қосу



Айталық, , L(V ) болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:

( + ) (х) = (х) + (х) , х V (4)

Осы анықталған + заңдылығы мен сызықтық операторларының қосындысы деп аталады.

Лемма. + қосындысы сызықтық оператор болады.

Дәлелдеу. х V үшін (х) және (х) векторлары бірмәнді анықталған, себебі , – сызықтық операторлар. Векторлық кеңістікте + БАО болғандықтан, (х) + (х) векторы да бірмәнді анықталады. Онда + заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Сызықтық болатынын көрсетейік.

( + )( х+ у) (4) = ( х+ у) + ( х + у) ( , с.оп.)= (х)+ (у)+ (х)+ (у)= =|в.к.акс. | = ( (х)+ (х)) + ( (у)+ (у)) = |(4) бой. |= ( + )(х)+ ( + )(у).

Онда + L(V ).

Анықтама. Берілген және сызықтық операторларына + сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторларды қосу амалы деп атайды.

Сонымен, L(V ) жиынында + БАО-сы анықталды.

Қосынды + сызықтық оператордың матрицасын анықтайық. V кеңістігі- нің қандай да бір е , е , ... , е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А , сызықтық операторының матрицасы А болсын. Қосынды

+ сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік

Онда (2¢) бойынша = А ; екінші жағынан, (4) бойынша

||

= + = А + А = =|матрицаларды көбейту қосуға қатысты дистрибутивті болғандықтан| =

=( А + А ) ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмәнділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады: А = А + А . (*)

(Соңғы теңдікті өзіңіз сөзбен оқыңыз).

L(V ) жиынында анықталған + БАО-ның төмендегідей қасиеттері бар:

1 . , L(V ) + = +

2 . , , L(V ) ( + )+ = +( + )

3 . L(V ) + =

4 . L(V ) (– ) L(V ) +(– ) = .

Бұл қасиеттерді өздеріңіз дәлелдеңіз. Нұсқау. 4 қасиетте алдымен (– ) заңдылығын анықтап алу керек, сонан кейін оның сызықтық екенін көрсету керек, соңында -ге қарама-қарсы болатынын дәлелдеу керек.



Анықталған (4) амалдың қасиеттерінен L(V ) жиыны абельдік группа болатыны шығады: L(V ), + – абельдік группа.

n 3.Сызықтық операторды скалярға көбейту

Айталық, L(V ), F болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:

( )(х) = (х) , х V (5)

Осы анықталған заңдылығы сызықтық операторының скалярына көбейтіндісі деп аталады.

Лемма. (5) формуламен анықталған заңдылығы сызықтық оператор болады.

Дәлелдеу. сызықтық оператор болғандықтан х V үшін (х) векторы бірмәнді анықталған. Векторлық кеңістіктегі скалярға көбейту амалының берілуінен (х) векторы да бірмәнді анықталатыны шығады. Онда заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Сызықтық болатынын көрсетейік.

( )( х+ у) =(5) ( х+ у) =( с.о ) ( (х) + (у) ) (в.к.акс.)= (х) + (у) = = |в.к.акс.| = ( (х)) + ( (у)) = |(5) бой.| = ( )(х) + ( )(у).

Онда L(V ).

Анықтама. Берілген сызықтық операторына сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторды скалярға көбейту амалы деп атайды.

Ескерту. Анықталған скалярға көбейту амалы L(V ) жиынында сыртқы амал болады.

Осы сызықтық операторының матрицасын анықтайық. V кеңістігінің қандай да бір е , е , ... , е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А болсын. Анықталған сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік.



Онда (2¢) бойынша = А ; екінші жағынан, (5) бойынша

||

= = А ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмәнділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады:А = А . (Теңдікті сөзбен оқыңыз).

L(V ) жиынында анықталған скалярға көбейту – сыртқы амалының мынадай қасиеттері бар:

1 . L(V ) F ( =

2 . L(V ) F ( =

3 . , L(V ) F ( + ) = +

4 . L(V ) 1· = , мұндағы 1 – F өрісінің бірі.

(Қасиеттердің дәлелдеуі өзбетімен).

(4), (5) амалдардың анықтамасы мен олардың қасиеттерінен L(V ) жиынының өзі F өрісінде берілген векторлық кеңістік құрайтыны шығады:

L(V ),+, F – векторлық кеңістік.

Сонда, өрісте берілген векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар жиыны, өзі, сол өрісте берілген векторлық кеңістік құрайды.

n 4. Сызықтық операторларды көбейту

Айталық, , L(V ) болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:

( ) (х) = ( (х)) , х V (6)

Осы анықталған заңдылығы мен сызықтық операторларының көбейтіндісі деп аталады.

Лемма. көбейтіндісі сызықтық оператор болады.

Дәлелдеу. сызықтық оператор болғандықтан, х V үшін (х) векторы бірмәнді анықталған, ал де сызықтық оператор болғандықтан ( (х)) векторы бірмәнді анықталған. Онда заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Оның сызықтық болатынын тексерейік.

( )( х+ у) (6)= ( ( х+ у)) ( с.оп.) = ( (х)+ (у)) ( с.оп) = ( (х))+ ( (у)) (6) =

= ( )(х) + ( )(у).

Онда L(V ).

Анықтама. Берілген және сызықтық операторларына сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторларды көбейту амалы деп атайды.

Сонымен, L(V ) жиынында · БАО-сы анықталды.

Көбейтінді сызықтық оператордың матрицасын анықтайық. V кеңіс- тігінің қандай да бір е , е , ... , е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А , сызықтық операторының матрицасы А болсын. Көбейтінді сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік.

Онда (2¢) бойынша = А · ; екінші жағынан, (6) бойынша

||

= ( ) = ) = | с.оп.|= А ( ) =

= А = А А ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмән- ділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады:

А = А ·А . (**)

Соңғы теңдікті сөзбен оқыңыз.

L(V ) жиынында анықталған · БАО-ның төмендегідей қасиеттері бар:

1 . , , L(V ) ( ) = ( )

2 . , , L(V ) ( + ) = + & ( + ) = +

3 . L(V ) = =

Бұл қасиеттерді өздеріңіз дәлелдеңіз.

Анықталған (4), (6) амалдар мен олардың қасиеттерінен L(V ) жиыны бірі бар сақина болатыны шығады: L(V ),+, – бірі бар сақина.

Сонда, өрісте берілген векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар жиыны сақина құрайды.Оны сызықтық операторлар сақинасы дейді.

Жоғарыда, §5-те біз, n өлшемді векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар мен n–ші ретті квадрат матрицалар арасында өзара бірмағыналы сәйкестік (биекция) болатынын көрдік. Ал осы §8-гі n 2, n 4 – дің нәтижесінен бұл сәйкестіктің аддитивті және мультипликативті болатыны шықты ( (*), (**) формулаларын қара). Онда, сызықтық операторлар сақинасы мен квадрат матрицалар сақинасы изоморфты болғаны:

L(V ),+, М (F),+, .


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!