Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Производные основных элементарных функций



29.Производные высших порядков. Вычисление n-й производной от суммы и произведения. Производные высших порядков элементарных функций: , , , , , .

30. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа).

31. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя.

32. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. Формула Маклорена. Разложение функций , , , , в ряд Маклорена.

33. Признак постоянства функции на отрезке. Признак монотонности функции на отрезке. Достаточное условие монотонности.

34. Понятие максимума и минимума функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Понятие критической и стационарной точек. Достаточные условия экстремума. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке.

35. Понятие функции, выпуклой вверх (вниз). Точка перегиба функции. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба.

36. Асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

37.Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

38. Таблица основных интегралов.Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях.

39.Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование простейших дробей.

40.Метод неопределенных коэффициентов.

 

Необходимый минимум теорем с доказательствами

Теорема.Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

(От противного)Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела

, .

Обозначим . Тогда выполнено и . Тогда .

Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа (его можно брать сколь угодно малым), следовательно b-а=0 и значит, а=b.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема. (Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено .

.

Значит, выполнено .

Обозначим М= . Тогда "n выполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена.

Теорема.(Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) , где - БМП, то есть .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть . Рассмотрим последовательность .



По определению предела выполнено .

Следовательно, для последовательности имеем: выполнено . Значит, - БМП Þ , где - БМП.

2) Достаточность.

Пусть , где .

По определению предела выполнено . Так как

, то "n>N Þ .

 

Теорема. Если , , то

1) ,

2)

Доказательство.

По теореме -необходимое и достаточное условие сходимости- , , где , .

1) .

Так как - БМП, то .

2)

- БМП, - БМП, -БМП. Следовательно, .

Теорема . 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

1) - ограниченная сверху .

Докажем, что .

Выберем . Тогда по определению 1' для этого e выполняется два условия:

1) ,

2)

Так как - неубывающая, то .

Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит, выполнено . Т. е. Þ .

Итак, : выполняется .

Заметим, что из условия 1) следует, что .

2) Доказывается аналогично.

Устанавливается, что и, следовательно, .

Теорема. Для того, чтобы функция f имела предел в точке a необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а:

Доказательство.

1) Необходимость.

и . Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.

2)Достаточность.

Пусть существуют односторонние пределы, равные А. Возьмем . Тогда согласно определению 2

: : выполняется ,

: : выполняется .

Выберем : : выполняется .

выполняется определение предела в точке а.



Теорема. (Единственность предела). Любая функция в точке может иметь только один предел.

Доказательство.

Пусть , и .

Возьмем (xn): xn a. Рассмотрим (f(xn)). По определению предела функции по Гейне и . Но по теореме о единственности предела последовательности отсюда следует, что А=В.

Полученное противоречие доказывает теорему.

 

Теорема. Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки а и , . Тогда в точке а существуют пределы суммы, разности, произведения и частного (при условии, что и в ), причем

,

,

,

при и в .

Доказательство.

Докажем для суммы, остальное – аналогично.

Возьмём : . Так как и , то по определению предела функции по Гейне , . По теореме о пределе суммы последовательностей последовательность также имеет предел, причем .

Получили, что : последовательность сходится к числу А+В ( ) .

 

Теорема. 1) Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций в точке а является бесконечно малой функцией в точке а.

2) Произведение бесконечно малой функции в точке а на ограниченную в окрестности точки а функцию является бесконечно малой функцией в точке а.

Доказательство.

1) Пусть f(x), g(x) - бесконечно малые в точке а функции. Докажем, что f(x)+g(x) - бесконечно малая функция в точке а . Выберем . По определению: выполняется ,

выполняется .

Возьмём Þ выполняется .

Разность и произведение – аналогично: ,

(можно взять не , а ).

2) Пусть f(x) – ограничена в окрестности точки а, а g(x) - бесконечно малая функция в точке а.

Тогда по определению существует выполняется ;

выполняется .

Возьмём Þ выполняется Û .

Теорема.

1) Пусть f(x) - бесконечно большая функция при . Тогда - является бесконечно малой функцией при ;

2) Пусть f(x) - бесконечно малая функция при и . Тогда - бесконечно большая функция при .

Доказательство.

1) Пусть . Выберем и положим .

Û для выбранного выполняется (так как , то есть в , то имеет смысл) . 2) аналогично.

Теорема. Если при a(х) ~ a1(х) , b(х) ~ b1(х) и существует , то существует , то есть .

Доказательство.

В справедливо: .

Так как существует , существует и существует , то существует .

 

Теорема 2.Если функции f(x) и g(x), непрерывны в точке x0, то (если ) непрерывны в точке x0.

Доказательство.

Доказательство следует из теоремы арифметических операциях над пределами и определения непрерывности. Докажем для .

Так как и непрерывны в точке x0, то по определению 1 и . Тогда по теореме о пределе суммы = .

Следовательно, функция непрерывна в точке x0.

 

Теорема(необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную , при этом .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть f(x) дифференцируема в точке х0, т. е. , где . Пусть . Тогда .

Так как существует правой части: , то существует и левой части: , и эти пределы равны: .

2) Достаточность.

Пусть существует , то есть существует . Тогда по необходимому и достаточному условию существования предела функции в точке , где - бесконечно малая при . Следовательно, по определению (1) f(x) дифференцируема в точке х0.

 

 

Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и (при условии, что ) частное, при этом справедливы равенства

, (1)

, (2)

. (3)

Доказательство.

1) Пусть . Придадим переменной х приращение . Тогда функции u и v получат приращения Du и Dv соответственно. Тогда

,

. (4)

Пусть , так как u и v дифференцируемы в точке х, то существует и существует . Следовательно, существует правой части равенства (4): . Значит, и существует и левой части .

Переходя в (4) к , получим .

2) Пусть y=u(x)v(x). Придадим точке х приращение . Функции u=u(x) и v=v(x) получат приращения . Тогда

,

. (5)

Пусть . Так как u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, то существует и существует . Так как функция u(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке, значит, Поэтому существует

.

Так как существует правой части равенства (5), то существует и левой части, то есть существует . Переходя в (5) к получим

.

Теорема (Свойства неопределённого интеграла)

1. ,

Доказательство.

.

 

2.

Доказательство.

dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx Þ .

 

3. Если f(x) имеет первообразную на <a;b> и к≠0, то функция кf(x) тоже имеет первообразную на <a;b>, причём

. (1)

Доказательство.

(kF(x))'=kF'(x)=кf(x) Þ функция kF является первообразной для kf на <a;b> =>

Далее . Итак, левая часть равенства (1) представляет собой совокупность функций kF(x)+C1, а правая состоит из функций вида kF(x)+kC. В силу произвольности С1 и С оба множества совпадают.

 

4. Если функции f и g имеют первообразные на <a;b>, то и функция f±g имеет на <a;b> первообразную, причём

. (2)

Доказательство.

Пусть =F(x)+C1, =G(x)+C2.

Рассмотрим функцию Ф(x)=F(xG(x),

Ф'(x)=F'(xG'(x)=f(xg(x) Þ . Следовательно, левая часть равенства (2) состоит из функций F(xG(x)+C, а правая из функций (F(x)+C1)±(G(x)+C2)= F(xG(x)+C1±C2. Ввиду произвольности С1, С2, С эти множества совпадают.

Свойства 3 и 4- линейные свойства интеграла.

 

Cвойства модуля:

1 . |a|=|-a|.

1) Пустьа>0. Тогда |а| = а. Если а>0, то –а<0 и ||=-()=а |а|=||= а.

2) Пустьа<0. Тогда |а|= . Если а<0, то >0 и |-а|= |а|=|| = -а.

2 . -|а| а |а|.

I. Докажем, что -|а| а

1) а>0. Тогда -|а| = , -а<а, то есть -|а|<а,

2) а<0. Тогда -|а|= -(-а). Итак, -|а|£а.

II. Докажем, что а |а|

1) a>0. Тогда |а| = а и получаем равенство

2) a<0. Тогда |а| = , -а>0 и а <-а Þa<|а|.

Итак,в любом случае а |а|.

3 . b 0 неравенство |х| b равносильно -b х b (при b<0 неравенство |х| bне верно ни при каком х).

1) Докажем (1) |х| b -b х b (2).

(1) -|х| -b. По свойству 2 -|х| х |х| -b -|х| х |х| b, то есть -b х b.

2) Докажем, что (2) (1).

Имеем -b х b. Так как х b и b 0, то b. Но |х| равен либо х, либо –х |х| b.

Пример 1. а) ;

б) |х|< <x<7.

4 . b 0 |х|³bÛ (если b<0, то неравенство верно для любого х).

1) Необходимость.

Имеем |х| b.

Если , то |х|=

Если , то |х|=

2) Достаточность.

Имеем , но |х|=х или |х|=-х |х| .

Пример 2.

а) б)

5 . (Неравенство треугольника) |а+b| |а|+|b|

(Модуль суммы двух чисел не превосходит суммы модулей этих чисел).

По свойству 2 : +

По свойству 3 |а+b| |а|+|b|.

Замечание.С помощью метода математической индукции неравенство треугольника можно обобщить конечного числа слагаемых:

.

1) Для п=2 неравенство доказано.

2) Предположим, что оно верно для п=k . Докажем, что оно верно для п=k+1.

верно для п=к+1.

6 . |а-b| |а|+|b|

Доказательство из 5 заменой b на -b.

7 . |а-b|³|а|-|b|

8 .|а+b|³|а|-|b|

Доказательство из 7 заменой b на -b.

Из 5 -8

9 .

По свойству 7 |а-b|³|а|-|b| Þ |b-a|³|b|-|a| или |а-b|³|b|-|a| Умножим на (-1)

Þ -|а-b|£|а|-|b|

Получим: По свойству 3 Þ .

10 .

.

Докажем для произведения (частное аналогично).

Возможны 4 случая:

1)

2)

3) аналогично 2)

4) .

11 .

Пример 3.а)

б)

в)

12 . 1)

2)

1) ,

2) Û .

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!