Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Признак постоянства функции на отрезке. Признак монотонности функции на отрезке. Достаточное условие монотонности



1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций

Пусть f(x) определена в V(x0).

Определение 1. Функция f называется возрастающей в точкеx0, если $V(x0,d) точки x0, такая, что

f(x)<f(x0) при x<x0("xÎ(x0-d,x0),

f(x)>f(x0) при x>x0("xÎ(x0,x0+d).

Определение 2. Функция f называется убывающей в точкеx0, если $V(x0,d) точки x0, такая, что

f(x)>f(x0) при x<x0("xÎ(x0-d,x0),

f(x)<f(x0) при x>x0("xÎ(x0,x0+d).

Теорема 1. Если функция f дифференцируема в точке x0 и (x0)>0 ((x0)<0), то f возрастает (убывает) в точке x0.

Теорема 2 (признак постоянства функции) Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Для того, чтобы f(x) была постоянной на [a;b] необходимо и достаточно, чтобы (x)=0 "xÎ(a;b).

Теорема 3 (признак монотонности функции). Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Функция не убывает (не возрастает) на [a;b] Û(x)³0 ((x)£0) на (a;b).

Теорема 4. Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Если (x)>0 ((x)<0), то f возрастает (убывает) на (a;b).

Понятие максимума и минимума функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Понятие критической и стационарной точек. Достаточные условия экстремума. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке

Пусть f(x) определена в V(x0).

Определение 1.Точка х=х0 называется точкой максимума функции f, если существует окрестность V(x0,dV(x0), в пределах которой выполнено неравенство f(xf(x0).

Значение функции в точке x0 называется максимумом функции.

Определение 2.Точка х=х0 называется точкой минимума функции f, если существует окрестность V(x0,dV(x0): "xÎV(x0,d) выполнено f(xf(x0).

Значение функции в точке x0 называется минимумом функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в V(x0). Если функция имеет в точке x0 экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Определение. Пусть f(x) определена в V(x0). Точка x0 называется стационарной точкой функции f, если f¢(x0)=0. Точка x0 называется критической точкой функции f, если f¢(x0)=0 или не существует.



Из теоремы 4 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

Теорема 6 (первое достаточное условие экстремума). Пусть f дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой она непрерывна. Пусть f¢(x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x0, т. е. в интервалах (x0-d; x0), (x0;x0-d). Если:

1) f¢(x)>0 при x<x0 и f¢(x)<0 при x>x0, то x=x0 - точка строгого максимума;

2) f¢(x)<0 при x<x0 и f¢(x)>0 при x>x0, то x=x0 - точка строгого минимума;

3) f¢(x)>0 или f¢(x)<0 "xÎV(x0), то x=x0 не является точкой экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на <a;b>

Пусть f(x) на <a;b> имеет несколько критических точек. Расположим их в порядке возрастания: a<x1<x2<…<xn<b. Они делят <a;b> на интервалы (а;x1), (x1;x2),…,(xn;b). В каждом из них f¢(x0)¹0, она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по т 6.

Теорема 7 (второе достаточное условие экстремума). Пусть для функции f в стационарной точке x0 . Тогда функция имеет в точке x0 максимум, если и минимум, если .

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a;b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [a;b]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] надо:



1) найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [a;b];

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!