Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Непрерывность суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции



Теорема 2.Если функции f(x) и g(x), непрерывны в точке x0, то (если ) непрерывны в точке x0.

Доказательство.

Доказательство следует из теоремы арифметических операциях над пределами и определения непрерывности. Докажем для .

Так как и непрерывны в точке x0, то по определению 1 и . Тогда по теореме о пределе суммы = .

Следовательно, функция непрерывна в точке x0.

2. Непрерывность сложной функции

Пусть функция t=g(x) определена на D(g), а функция y=f(t) определена на D(f), и "xÎD(g) t=g(xD(f). Тогда на D(g) определена сложная функция y=h(x)=f(g(x)).

Теорема 3. Если функция t=g(x) непрерывна в точке x0ÎD(g), а функция y=f(t) непрерывна в точке , то сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке x0, т.е. . (6)

Доказательство следует из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределе сложной функции.

Замечание. Так как , то из (6) следует

(7)

т.е. операция предела переставима с операцией вычисления непрерывной функции. Причем (7) выполняется и в том случае когда g(x) не является непрерывной в точке x0.

Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва и их классификация.

Определение 1. Точка x0 разрыва функции f(x) называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f(x0-0), f(x0+0).

Величина называется скачком функции в точке x0.

Определение 2. Точка x0 разрыва функции f(x) называется точкой устранимого разрыва, если , т.е. (но либо , либо ).

Если x0 – точка устранимого разрыва, то разрыв можно устранить, если доопределить или переопределить функцию в точке x0, положив . Тогда непрерывна в точке x0.

Определение 3. Точка x0 разрыва функции f(x) называется точкой разрыва II рода, если в точке x0 не существует или равен бесконечности хотя бы один из односторонних пределов.

Теорема 2.Если функции f(x) и g(x), непрерывны в точке x0, то (если ) непрерывны в точке x0.

Теорема 3.Основные элементарные функции непрерывны на области определения.

Определение 1.f(x) называется равномерно непрерывной на промежутке (a;b), если .

Определение 2.f(x) не является равномерно непрерывной на <a;b> если

Теорема 1. Если f(x) равномерно непрерывна на то она непрерывна на

Замечание. Обратное утверждение неверно.

Теорема 2(Кантора).

Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она равномерно непрерывна на [a;b].



 

Понятие производной функции в точке. Геометрический и физический смысл производной.

 

Определение 1.Производной функции f в точке х0называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.

Обозначается: , , , , .

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х0;f(x0)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох)

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!