Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Состояния непрерывного спектра. Отражение и прохождение волн



Рассмотрим случай (а) предыдущего пункта. В этом случае (непрерывный дважды вырожденный спектр) движение «квантовой частицы» можно интерпретировать движением частично проходящих и частично отраженных волновых пакетов в поле потенциала U(x).

Согласно предложению А п.7.2.2. (и аналогичным результатам при x→-∞ ) эти пакеты можно строить по собственным функциям имеющим асимпт. формы двух типов:

u~x→-∞ exp(ik-x) + Ru exp(- ik-x),

u~x→-∞ Su exp(ik+x), (52)

и

v~x→-∞ Sv exp(- ik-x),

v~x→+∞ exp(- ik+x) + Rv exp(ik+x), (53)

где

k+ = √(ℰ-U+)

k- = √(ℰ-U-) (54)

Соответствующие пакеты идентичны, но распространяются в противоположных направлениях. Используя, как и ранее (см. п..7.1.5.) обозначение 𝒫(.) для волнового пакета вида (38) обсудим движение его для первого типа - собственных функций (52) (для второго типа рассмотрение и результаты аналогичны).

 
 

Пакет 𝒫( exp(ik-x) ) движется из x=-∞ вправо, попадает в зону действия потенциала U(x) и разделяется на отраженный пакет 𝒫(Ru exp(-ik-x) ), движущийся в противоположном направлении, и прошедший пакет 𝒫(Su exp(ik+x) ), распространяющийся в направлении x=+∞.

В случае прямоугольных потенциалов нам всегда удавалось найти постоянные, аналогичные Ru, Su, Rv, Sv.

Здесь потенциал не задан определенно, а только представлен своими асимптотическими формами. Вид этих форм и следствие 2 теоремы об определителе Вронского позволяют получить ряд соотношений для этих постоянных.

Действительно, так как u, v и их сопряженные u*, v* удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера, то применяя упомянутое следствие 2 к парам (u, u*), (v, v*), (u, v), (u, v*), (v, u*), (u*, v*) и учитывая, что

W( exp(ikx), exp(ikx) ) = W( exp(-ikx), exp(-ikx) ) = 0,

W( exp(-ikx), exp(ikx) ) = 2ik, (55)

получаем:

i/2 W(u,u*) = k-(1-|Ru|2) = k+|Su|2, (56)

i/2 W(v,v*) = -k-|Sv|2 = -k+(1-|Rv|2), (57)

i/2 W(u,v) = k-Sv = k+Su, (58)

i/2 W(u,v*) = -k-RuSv* = k+SuRv* (59)

Остальные два соотношения оказываются комплексно сопряженными к соотношениям (58), (59).

7.2.5. Число узлов связанных состояний.

Лемма: Пусть y1(x), y2(x) — решения уравнения Шредингера (1) при ℰ=ℰ1 и ℰ=ℰ2 соответственно, причем ℰ2>ℰ1.



Тогда, если a,b є [-∞, +∞] - два последовательных нуля функции y1, то на промежутке (a, b) существует хотя бы один ноль решения y2.

Доказательство:

Из следствия 1 теоремы об определителе Вронского получаем:

(y2 y1')|ab = (ℰ2 - ℰ1)∫ab y1y2 dx (60)

Решение y1 сохраняет знак на (a,b).

Пусть, для определенности, y1>0 там.

Тогда y1'(a)>0, y1'(b)<0. Отсюда и следует, что y2 имеет хотя бы один ноль на (a,b), так как в противном случае левая и правая части в (60) имели бы значения разных знаков.

Что и требовалось.

Пусть теперь y1 y2 из леммы — собственные функции дискретного спектра. Обе они обращаются в 0 на границах интервала (-∞, +∞). Если y1 имеет n1 узлов на (-∞, +∞), то есть n1 нулей без учета крайних точек интервала, то ими весь интервал делится на n1+1 подынтервала, на каждом из которых согласно лемме есть хотя бы по узлу собственной функции y2, то есть на (-∞, +∞) y2 имеет по крайней мере n1+1 узлов. Можно показать (а мы примем это без доказательства ), что имеет место следующее утверждение:

Пусть ℰ1<ℰ2<... - весь дискретный спектр, а n(ℰk) обозначает число узлов на (-∞, +∞) собственной функции собственного числа ℰk.

Тогда n(ℰk) = k-1 и между любыми соседними узлами собственной функции yk есть хотя бы один узел любой собственной функции с большим номером.

7.2.6. Ортогональность собственных функций дискретного спектра.

Предложение 1. Пусть y1, y2 – собственные функции соответствующие каким-то двум различным собственным числам дискретного спектра.

Тогда

-+∞ y1y2 dx = 0 (61)

Доказательство. Упражнение 1

Указание: используйте следствие 1 теоремы об определителе Вронского при a=-∞, b=+∞.




Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!