Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Асимптотическое поведение решений



Общие свойства одномерного уравнения Шредингера.

Рассмотрим уравнение

y’’+[ℰ - U(x)]y = 0, (1)

причём далее будем предполагать, что U(x) – ограниченная вещественная функция, непрерывная при всех за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрывы 1 рода.

Теорема об определителе Вронского.

Определитель

(2)

называют вронскианом или определителем Вронского функций , .

Символом будем обозначать приращение W на промежутке (а,b) , то есть .

Теорема

Пусть – решения соответственно двух уравнений

(3)

(4)

на интервале (а,b), причём непрерывны на (а,b) или имеют конечное число разрывов 1 рода. Тогда:

= (5)

Доказательство

Умножая уравнения (3),(4) на соответственно и вычитая второе из полученных равенств из первого приходим к равенству:

(6)

то, есть

W’ = (F1 – F2)z1 z2 (7)

Интегрируя его по x в пределах от a до b получаем (5).

Что и требовалось.

Следствие1. Пусть - решения уравнения (1) при и соответственно. Тогда для любых a,b є (-∞,+∞)при истинно равенство:

= (8)

Следствие2. Пусть y,z –два решения уравнения (1) при одном и том же значении ℰ. Тогда

(9)

Определение. Логарифмической производной функции y называют величину .

Следствие3. Пусть - решение уравнения (1) и его логарифмическая производная, причём

(10)

где значение конечно (и не зависит от ℰ)

Тогда при любом истинно равенство

(11)

Замечание. Основное содержание равенства (11) в том, что монотонно растёт по ℰ при и монотонно убывает по ℰ при .

Доказательство следствия 3. Пусть - решение задачи Коши для уравнения (1) при начальных условиях

, , (12)

где конечные значения и не зависят от ℰ. Из общих теорем существования для ОДУ следует, что это решение и его логарифмическая производная непрерывны по ℰ (и по х).

К решениям и Y(x,ℰ+δℰ) = Y(x,ℰ) + δY (x,ℰ),где 𝛿ℰ и

δY =Y(x,ℰ + δℰ) – Y(x,ℰ) -бесконечно малые, применим следствие 1 на интервале (a,b) (равенства с б.м. будем понимать как обычно – как равенства с точностью до б. м. высших порядков):

(13)

Так как , не зависят от ℰ в (12) ,то

Так как

, (14)

то при остальных х получаем:

(15)

Получаем

(Y2δf)|x=b = -δℰ∫abY2dx ⇒ (Y2(∂f/∂ℰ)|x=b δℰ) = - δℰ∫abY2dx



Используя всё это в (13) получаем:

(16)

Так как в ( ) – произвольное значение х из ,то (16) совпадает с (11) с точностью до обозначений.

Что и требовалось.

Асимптотическое поведение решений.

Если , то это записывают ещё в виде (x→+∞) и говорят, что y(x) имеет асимптотическую форму при . Можно ,конечно, рассматривать асимптотические формы при или , но здесь нам это не понадобится. Асимптотическая форма решений уравнения (1) при зависит от величины sign(ℰ-U(x)) при . Мы рассмотрим эту форму, имея в виду, что при результаты получаются аналогичные.

Мы будем предполагать, что

(17)

И последовательно рассмотрим 2 возможных при этом случая

(a)

Случай а.

Предложение А. Пусть выполнены условия:

2. U(x) монотонно стремится к конечному пределу при ;

1. (∃x0)

Тогда вещественные решения уравнения (1) ограничены и осциллируют ( число раз) между двумя значениями при

Если, кроме того, выполнено условие

3. (оно означает, что U(x) стремится к при быстрее, чем ),

то

(18)

где , a -вещественные постоянные.

Доказательство. Действуя в рамках метода Лагранжа вариации произвольных постоянных, введём в уравнение замену переменных на новые переменные A(x) и 𝜑(x) по формулам:

(19)

Сделав несложные выкладки, получаем:

(20)

или, после интегрирования:

(21)

(22)

Интеграл справа в (21) сходится по признаку Дирихле (см. далее) ,поэтому при cтремится к определённому пределу . Так как φ’→0(при x→+∞) (см. 20), то sin(kx+φ) в (19) осциллирует с «периодом», асимптотически стремящимся к 2П/k. Отсюда следует первая часть теоремы. При выполнении условия 3 сходится (также по признаку Дирихле) и интеграл справа в (22), поэтому в этом случае обе функции A(x), 𝜑(x) имеют конечные пределы , и, тем самым, доказана формула (18).



Что и требовалось.

Замечание. Упомянутая выше сходимость интегралов следует из признака сходимости Дирихле для :

если интегрируема на любом конечном интервале вида и a монотонно стремится к 0 при , то интеграл I сходится.

Случай б.

Предложение Б. Пусть выполнено условие

(23)

Тогда существует одно (с точностью до постоянного множителя) решение уравнения (1), стремящееся при к 0 не медленнее, чем , а все другие решения стремятся к не медленнее .

Доказательство. Символами Y(x), Z(x) обозначим два линейно-независимых решения уравнения (1), удовлетворяющих следующим начальным условиям:

Y(x0) = 1 , Y’(x0) = 0, (24)

Z(x0) = 0 , Z’(x0) = 1, (25)

Нас интересуют отличные от нуля решения с точностью до постоянного множителя. Любое такое решение можно представить в виде:

y(x) = Y(x) + f Z(x) (26)

-это будут решения, обращающиеся в 1 при . Произвольную постоянную можно выразить через начальные данные:

f = y’(x0) (27)

Лемма. Решения Y(x) и Z(x) монотонно возрастают и положительны при x > x0

Упражнение. Доказать лемму.

Указание. Воспользуйтесь равенствами:

(28)

(29)

Теперь, кроме уравнения (1) рассмотрим уравнение

(30)

при начальных условиях

(31)

(начальные данные как в (24) для Y!)

Решением задачи Коши (30),(31) является функция

(32)

Применяя теорему об определителе Вронского к решениям Y и уравнений (1)и (30) соответственно, получаем:

Используя то, что

W|x0 = 0, Y(ξ)>0, ℰ - U(ξ) + M2 < 0 при ξ>x0,

получаем:

W( Y(x),chM(x-x0) )≤ 0 (33)

откуда

(34)

Интегрируя получаем:

(35)

Аналогично доказывается, что

(36)

Кроме того, из (34) следует, что

(37)

аналогично,

(38)

Теперь докажем оставшуюся часть предложения Б. Из следствия 2 теоремы об определителе Вронского получаем:

Z’Y– Y’Z= 1при x>x0 (39)

Введем в рассмотрение 2 функции

u(x) = Y(x)/Z(x) , v(x) = Y’(x)/Z’(x) (40)

Из (39) и того, что Y, Z удовлетворяют уравнению (1) следует

u – v = Y/Z – Y’/Z’ = 1/ (ZZ’),

u’ = (Y’Z – YZ’) / Z2 = -1/ Z2 (41)

v’ = (Y’’Z’ – Y’Z’’) / Z’2 = (U - ℰ) / Z’2

При x>x0 u убывает, а v – возрастает, а их разность обращается в 0 на , поэтому они имеют общий предел Cпри x→+∞.

Очевидно,

v(x) < C < u(x) , x>x0 (42)

Из (41), (42) следуют неравенства

-1/ZZ’ < v – C < 0 < u – C < 1/ZZ’ (43)

Рассмотрим частное решение уравнения (1) и его производную:

(44)

Они удовлетворяют неравенствам:

, (45)

Итак, положительная функция (x) стремится к 0 не медленнее, чем , т.е. не медленнее чем . Отрицательная функция так же стремится к 0 не медленнее чем . Все это означает, что - то решение, о котором говорилось в предположении Б.

Не существует других таких решений.

Действительно, если , то можно положить и его асимптотическое поведение то же, что у Z.

Что и требовалось доказать.

Структура спектра.

Пусть, для определенности,

U+ = limx→+U(x) < U- = limx→-U(x) (46)

и рассмотрим три случая:

(а) ℰ>U- , (b) U- > ℰ > U+ , (c) U+ > ℰ

Случай (а). Согласно (46) видим, что

( ∃x0>0 ) ( ∀x є (-∞, -x0)U(x0, +∞) ) (ℰ > U(x)) (47)

(иначе говоря, ℰ > U(x) на концах интервала (-∞, +∞) ), то есть выполнено условие 1 предположения А п.7.2.2. Пусть выполнено и условие 2 этого предположения. Тогда, как мы доказали, всякое решение уравнения (1) ограничено и, стало быть, допустимо в качестве собственной функции. Это означает, что ℰ - двукратно вырожденное собственное значение.

Таким образом, спектр ℰ > U- - непрерывный и вырожденный. Так как, согласно упомянутому предложению, в обеих асимптотических областях (-∞, -x0), (x0, +∞) собственные функции бесконечное число раз осциллируют между конечными пределами, то собственные значения соответствуют несвязанным состояниям «частицы».

Случай (b). Согласно (46) получаем, что

( ∃x0>0 ) ( ∀x є (-∞, -x0) ) (ℰ < U(x)), (48)

( ∃x0>0 ) ( ∀x є (x0,+∞) ) (ℰ > U(x)), (49)

то есть выполнены условие 1 предложения А (при x→+∞) и условие (23) предложения Б (при x→-∞).

Как и в случае (а) считаем, что выполнено и условие 2 предложения А (при x→+∞).

Из этих предложений следует, что существует только одно ограниченное решение (оно экспоненциально убывает) в области

(-∞,x0), оно остается ограниченным и бесконечное число раз осциллирует в области (x0, +∞).

Таким образом, спектр U+ < ℰ <U- непрерывный и невырожденный. Все состояния несвязанные.

Случай (с). Опять таки, согласно (46)

( ∃x0>0 ) ( ∀x є (-∞, -x0)U(x0,+∞) ) (ℰ < U(x)), (50)

то есть выполнено условие (23) предложения Б (как при x→-∞, так и при x→+∞).

Отсюда следует, что при каждом ℰ в рассматриваемом сейчас случае существует единственное ограниченное в области (x0,+∞) решение +(x, ℰ) и единственное ограниченное в области (-∞, x0) решение

-(x, ℰ) (единственность понимается с точностью до постоянных множителей для каждого решения). Эти решения +(x, ℰ) и -(x, ℰ) стремятся экспоненциально к 0 при x→+∞ и x→-∞ соответственно. Это в частности означает, что для каждого ℰ, если собственная функция существует, то представляет связанное состояние.

Что касается существования собственных функций при данном ℰ, то для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство

f-(x0,ℰ) = f+(x0,ℰ), (51)

где f-, f+ - логарифмические производные функций + и -, а x0 –любая точка из (-∞, +∞), в которой f-, f+ непрерывны.

Пользуясь следствием 3 теоремы п.7.2. (или как-то иначе) можно показать (а мы примем это без доказательства), что равенство (51) может выполняться только для дискретного набора (изолированных) значений ℰ, то есть в рассматриваемом случае спектр дискретный.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!