Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме



Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексное число в алгебраической формеимеет вид

, (1)

где a и b – действительные числа, а i - некоторый символ, называемый мнимой единицей и i² = -1 , т.е. . В формуле (1) называется действительной частью, а - мнимой частью комплексного числа и обозначается , . Т.е., каждое комплексное число однозначно определяется парой чисел (а ; b), его действительной и мнимой частью. С другой стороны нам известно, что при введении декартовой системы координат на плоскости положение любой её точки также однозначно определяются парой чисел , которые называются координатами точки. Установив это взаимооднозначное соответствие, можно изображать комплексные числа на плоскости, которую назвали комплексной плоскостью . В ней вместо оси – ось , а вместо оси - ось . Любое комплексное число на такой плоскости изображается точкой с координатами или радиус-вектором с теми же координатами.

Из рисунка можно ввести новые понятия для комплексного числа . Это его модуль и аргумент .

Из прямоугольного треугольника имеем:

и (2)

Отметим, что аргумент можно найти и другим способом: сначала определить , а затем, используя алгебраическую форму записи, установить, в какой четверти находится данное комплексное число.

Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа

Решение: так как , то ; далее, . Отсюда имеем .

Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа

Решение: имеем так как , , то угол принадлежит III четверти. Значит, .

 

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

 

Выразим из (2) a и b:

Из формул (2) выразим а и b:

(3)

Подставив (3) в (1), можно перейти от алгебраической формы комплексного числа к новой записи комплексного числа

. Следовательно,

(4)

Формула (4) называется тригонометрической формой комплексного числа.Заметим, что комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны
тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число,
кратное 2л.

 

Пример.Найти тригонометрическую форму числа .

Решение: имеем . Находим , и так как находится в первом квадранте, то берем . Итак,

 

Пример.Найти тригонометрическую форму числа .

Решение: имеем . Находим :



следовательно, . Итак, .

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Пусть даны два числа в тригонометрической форме:

,

Тогда их произведение можно найти по формуле:

 

(5)

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Формула (5) имеет место для любого конечного числа сомножителей: если , то

(6)

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме производится по формуле

, (7)

т.е модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного – разности аргументов. Применяя формулу (7) к частному случаю , найдём тригонометрическую форму обратного числа :

(8)

Пример.Умножить числа: , .

Решение: .

Пример. Даны комплексные числа ,

Найти частное .

Решение:

Пример. Найти число, обратное к .

Решение: Согласно формуле (8) получим .

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!