Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Функции случайных величин, их законы распределения



Опр:пусть дана ф-ция одной переменной с областью определения D(f), и пусть дана некоторая СВ Х все значения которой принадлежат D(f). Тогда, если Х приняла значение х, будем считать, что новая СВ У приняла значение f(x). Эта новая СВ называется ф-цией СВ Х. В этом случае записываем: Y=f(X).

I. Выясним как найти распределение ф-ции одной СВ по известному распределению дискретного аргумента.

а)если различным возможным значениям аргумента Х соответствуют различные возможные значения ф-ции У, то вероятности соответствующих значений Х и У между собой равны:

б)еслиразличным возможным значениям Х соотв значения У, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся вероятностей:

II.Та же задача ставится и для непрерывного аргумента: имеется плотность распределения СВ – р(х), а через нее хотим выразить .

Теорема:если f(x) дифференцируемая строго возрастающая ил строго убывающая ф-ция, обратная ф-ция которой , то имеет место равенство

Док-во:пусть и пусть множество значений СВ А это отрезок [a,b].

Ф-ция распределения СВ Y=f(X) имеет вид

f(x) - возрастает возрастает x

Замечание:можно рассматривать также ф-ции от 2 и более случайных величин


Числовые характеритики СВ.

СВ описываются числовыми характеристиками, различают характеристики положения ( ожидания , моде, медиана) и характеристики рассеивания ( дисперсия, среднеквадратичное отклонение , моменты)

В мат ожидании (средним значением вероятности называется действительное число М(х))

М(х)=

Мат. ожидание существует, если ряд или интеграл - сходятся абсолютно, если абсолютной сходимости нет , то говорят, что Х не имеет мат ожидания.

Мат ожидание характеризует среднее значение принимаемое СВ.

Свойства:

1.М(с)=с - const

2.М(кх)=кМ(х), к -const

3.М(х+у)=М(х)+М(у)

4.М(ху)=М(х)М(у), если х,у- независимые

5.М(х-М(х))=0

6.х≥0 => М(х) ≥0

7.М2(ху)=М(х2)М(у2) - неравенство Коши Буняковского


26. Дисперсия, её свойства. Среднеквадратическое отклонение

Дисперсией СВ называют неотрицательное число:

D(x)=

Свойства дисперсии:

1.D(c)=0, c-const

2.D(kx)=k2D(x)

3.D(x±y)=D(x)+D(y), если х,у - независимые

4.D(x)=M(x2)-(M(x))2 --- упрощённое правило вычисления

Модой непрерывной СВ Х называют действительное число dx – точка максимального распределения.(модой дискретной СВ Х – называют значение хк имеющее наибольшую вероятность)



Медианойнепрерывной СВ Х – называют действительное число hх , такое что Р(х<hx)= Р(х≥hx)

Средним квадратичным отклонением CВ Х – называют число δ(х)=(D(x))0.5


Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 СВ, их свойства.

Основная характеристика описывающая связь между СВ Х и У является ковариация (корреляционный момент):

Kxy=cov(x,y)=M[(x-M(x))(y-M(y))]

Теор.cov(x,y)=0,Для независимых Х и У

Свойства ковариации:

1.Кхуух

2.|Кyx|≤δхδу

Величина rху= Кух/ δхδу называется линейной ковариацией

Свойства rху:

1. rху =rух

2. rхх=1, Кхх=D(x)

3. |ryx|1≤1

4. Кху= 0, если Х и У независимые СВ

5. rху=±1, то между СВ Х и У существует функцинальная зависимость

М((х-mx)/ δх ±(y-my)/ δy)2= 2 ± 2 Кух/ δхδу

 


Неравенство Маркова.

Теорема(неравенство Маркова):Пусть собственная величина(СВ) Х принимает только неотрицательные значения, тогда справедливы неравенства .

Доказательство:Докажем для непрерывной СВ Х , . ; ; . доказано.

 

29.Неравенство Чебышева.

Теорема(неравенство Чебышева):Пусть Х-СВ с дисперсией D(X), тогда справедливо неравенство .

Доказательство: Рассмотрим СВ , , тогда для справедливо неравенство Маркова ; ; из последних 2-х неравенств следует неравенство. доказано.

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева:Пусть - независимые СВ с конечными мат. ожиданиями , причем , тогда

Опр. по вероятности, если .

Доказательство: Рассмотрим СВ . Найдем мат. ожидание и дисперсию: ; . Применим неравенство Чебышева: ; . Пусть и получаем утверждение теоремы.



 

 

Теорема Маркова.

Теорема Маркова:Если имеются зависимые СВ и если при выполняется , то среднее арифметическое сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий

Доказательство:Аналогично доказательству Чебышева ; ; ; . доказано.

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли: Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, то при достаточно большом n для произвольного ε >0 справедливо неравенство

Переходя к пределу, имеем

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в n испытаниях. Из теоремы видно, что отношение m/n обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.

Иногда (при решении практических задач) требуется оценить вероятность того, что отклонение числа m появления события в n испытаниях от ожидаемого результата np не превысит определенного числа ε. Для данной оценки неравенство переписывают в виде

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!