Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей



Условная вероятность P(A|B) события А при условии, что произошло событие В. Она определяется формулой

P(A|B)= (*) P(B) в случае классического определения вероятности.

P(A|B)= . Из формулы (*) следует P(A*B)=P(B)*P(A|B)

Теорема умножения вероятностей:Пусть произвольные события, тогда имеет место P( )=P( )*P( )*P( )*…*P( )

Независимые события.

Опр. События А и В наз-ся независимыми,если условная вероятность P(A|B)=P(A) и P(В|А)=P(В), P(A) , P(B)

Теорема1:Если А и В независимы, то P(A*B)=P(А)* P(В) (**).

Теорема2:Если А и В таковы, что P(A*B)=P(А)* P(В), то А и В независимы(P(A) , P(B) )

Теорема3:Если А,В,С взаимно – независимые события, то P(A*B*С)=P(А)* P(В)* P(С)

P(A|B)= P(A|С)= P(A|B*С)= P(A)


Формула полной вероятности.

Опр.События образуют полную группу, если они попарно – несовместны ( ) и

Теорема:Пусть образуют полную группу событий, тогда для любого события А выполняется P(A)=P( )*P(A| )+P( )* P(A| )+…+P( )*P(A| )

Док-во:

A* =A

A= в этой сумме события несовместны, несовместны.

P(A)= ={по теореме умножения}=

Формула Байеса.

Пусть образуют полную группу событий. Требуется найти условную вероятность

 

Эта формула Байеса.

События А, наз-ся гипотезами

 

 


Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Производится несколько испытаний. Вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исхода других испытаний и P(A)=p такие испытания наз-ют независимыми относительно А.

Ставится задача вычислить вероятность того, что при n испытаний событие А произойдёт ровно k раз. вероятность.

Одно конкретное событие состоит в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз (и не наступит следовательно n-k раз) – это сложное событие , которое можно представить как следующее произведение независимых событий.

событие А произошло при i испытании

событие А не произошло при j испытании

Вероятность такого события в силу, что P( )=P( )*P( )*P( )*P( )*…*P( )={P( )=p; P( )=1-q}=

Таких сложных событий элементарных исходов может быть . Значит (использовали теорему сложения вероятностей для сложения вероятностей).

- формула Бернулли

 

 


Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях трудно. В таких случаях используют локальную теорему Лапласа.



Локальная теорема Лапласа:Если вероятность p – появление события А в каждом испытании постоянная и отличается 0 и 1 , то

где , x=

Для вычисления используются специальные таблицы.

Интегральная теорема Лапласа:Рассматривается та же ситуация, что и выше задача: вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не меньше и не более раз.

Интегральная теорема Лапласа:Если вероятность p – наступило событие А в каждом испытании постоянна и отличается 0 и 1, то

Где

 

<= формула Лапласа

 

 

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Считаем, что производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p.

Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от вероятности p по абсолютной величине не превосходит заданного числа ε:

Последнее неравенство домножим на

.

Согласно Т.Лапласа:


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!