Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Элементарные функции непрерывны во всей области их определения



Если функция не является непрерывной в некоторой точке, она называется разрывной в этой точке. В зависимости от того, какое условие непрерывности нарушается, различают следующие типы точек разрыва:

1) если существуют конечныеодносторонние пределы при xx0 слева и справа, которые не равны между собой, то эта точка называется точкой конечного разрыва или точкой разрыва первого рода;

2) если существуют конечные односторонние пределы при xx0 слева и справа, которые равны между собой, но не равны значению функции в точке xx0 то эта точка называется точкой устранимого разрыва;

3) если хотя бы один из односторонних пределов при xx0 слева или справа, равен бесконечности, то эта точка называется точкой бесконечного разрыва или точкой разрыва второго рода.

Пример 38. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Это элементарная функция. Значит, она непрерывна в своей области определения, т.е. при всех x, кроме точки x0 = 3. Вычислим пределы заданной функции при x → 3 слева и справа:

, .

Один из односторонних пределов равен бесконечности. Следовательно, x0 = 3 – точка разрыва функции второго рода (точка бесконечного разрыва).

Пример 39. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Это элементарная функция. Значит, она непрерывна в своей области определения, т.е. при всех x, кроме точки x0 = 0. Вычислим пределы заданной функции при x → 0 слева и справа:

(первый замечательный предел).

Значит, оба предела конечные и равны между собой. Следовательно, точка x0 = 0 есть точка устранимого разрыва. Разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке x0 = 0, положив f (0) = 1.

Пример 40. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Эта функция не является элементарной. Она непрерывна на промежутках (-∞; 0), (0; 2) и (2; +∞). Непрерывность может нарушаться в точках x1 = 0 и x2 = 2. Исследуем каждую из них в отдельности.

, .

Оба предела конечные, но не равны между собой. Следовательно, точка x1 = 0 − точка разрыва первого рода (точка конечного разрыва).

, ,

.

Итак, .

Значит, точка x2 = 2 – точка непрерывности функции.

Рис. 5.1
Для наглядности сделаем схематический чертеж (график функции представлен на рисунке 5.1).


ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1

«Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»



Задание 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.


1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.


Задание 2. Найти матрицу, обратную к данной. Правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.


2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.


Задание 3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

а) длину ребра А2А4;

б) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

в) площадь грани А1А2А3;

г) уравнение плоскости, проходящей через вершину А4 параллельно основанию А1А2А3;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на основание А1А2А3.


3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.


 


Задание 4. Даны координаты вершин треугольника Р1, Р2, Р3. Найти:

а) уравнение медианы, проведённой к стороне Р1Р2;

б) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины Р1.


4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.


 


Задание 5. Путем параллельного переноса системы координат привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую.


5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.


 

Контрольная работа № 2

«Введение в математический анализ»

 

Задание 1.Найти область определения функции.

 

1.1. а) ; б) .
1.2. а) ; б) .
1.3. а) ; б) .
1.4. а) ; б) .
1.5. а) ; б) .
1.6. а) ; б) .
1.7. а) ; б) .
1.8. а) ; б) .
1.9. а) ; б) .
1.10. а) ; б) .

 



Задание 2. Найти пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

 

2.1. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.2. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.3. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.4. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.5. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.6. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.7. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.8. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.9. а) ; б) ;
в) ; г) .
2.10. а) ; б) ;
в) ; г) .

 

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и установить их характер. Сделать схематический чертеж.


3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.




 

 

Программа,

методические указания и контрольные задания

по курсу “Высшая математика”

Часть І

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии,

введение в математический анализ

(для студентов заочной формы обучения)

 

 

Составители: Азарова Наталья Викторовна

Дегтярёв Валерий Степанович

Евсеева Елена Геннадиевна

Рубцова Ольга Александровна

Соловьева Злата Александровна

 

 

Рецензент: доц. Абдулин Рафаиль Наилович


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2017 год. Все права принадлежат их авторам!