Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Частные производные. Производная по направлению и градиент. Частные производные высших порядков



 

Частной производной функции по независимой переменной х называется конечный предел

= , вычисленный при постоянном значении у.

Частной производной функции по независимой переменной у называется конечный предел

= ,

вычисленный при постоянном значении х.

То есть частная производная функции по переменной x есть производная этой функции по x при постоянном значении y. Аналогично, частная производная функции по переменной y есть производная этой функции по y при постоянном значении x.

Обозначаются частные производные одним из символов:

, , , ; , , , .

Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными. Например, производная функции по x определяется формулой

.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Пример. Найти и , если .

Решение. При вычислении переменная у рассматривается как постоянная величина:

.

Рассмотрим теперь переменную х как постоянную величину:

.

Пример. Найти и , если .

Решение.

 

Определение. Производная функции трех переменных по направлению l, заданному вектором , вычисляется по формуле

где , , , .

 

Абсолютная величина определяет скорость изменения функции в точке , а ее знак – характер ее изменения (возрастания или убывания).

Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если , .

Решение. Координаты вектора определяются по формуле , если и .

.

,

Определение. Градиент функции есть вектор , численно равный наибольшей производной по направлению, который вычисляется по формуле:

.

Пример. Найти градиент и его длину функции в точке .

Решение.

.

Длину градиента вычисляем как длину вектора

.

Частные производные первого порядка мы можем рассматривать как функции, заданные в некоторой области пространства переменных х1, х2, …, хn. От каждой из этих функций , в свою очередь, можно найти частные производные: производных от :

;

производных от :

и так далее до ; всего получается производных , где . Производная обозначается также или . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции .

Если , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной , что и первое, то частная производная второго порядка называется чистой частной производной второго порядка по переменной и более кратко обозначается .



Если же , то частная производная второго порядка называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции можно отыскать чистых частных производных второго порядка и смешанных.

Пример.Пусть .

Найдём частные производные второго порядка. Для этого сначала найдём производные первого порядка:

.

Затем находим производные от :

,

производные от :

и производные от :

,

.

От любой из частных производных второго порядка можно рассматривать, в свою очередь, частные производные:

Эти производные (их штук) называются частными производными третьего порядка; от них можно найти частные производные четвёртого порядка

и т. д.

Если при вычислении частной производной высокого порядка некоторые дифференцирования проводятся по одной и той же переменной несколько раз подряд, то это отражается в обозначениях очевидным образом, например, означает то же самое, что .

Пример.Вычислим для функции из предыдущего примера.

Поскольку имеем

.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2017 год. Все права принадлежат их авторам!